矩形底面扁球面网壳的分岔问题

顾 小 妹

(南京航空航天大学金城学院基础部，江苏 南京 211156)

矩形底面扁球面网壳的分岔问题

顾 小 妹

(南京航空航天大学金城学院基础部，江苏 南京 211156)

对曲面为正三角形网格矩形底面扁球面单层网壳，用拟壳法建立非线性动力学方程，在固定夹紧的边界条件下，给出满足边界条件的动态解。通过Galerkin法得到该问题的非线性动力学方程，用Floquent指数方法研究系统的分岔问题，讨论了平衡点(奇点)领域的稳定性问题。并且通过数字仿真绘出了不同平衡点处系统的分岔图，指出系统在动静载荷作用下平衡位置的变化情况。

拟壳法；非线性；稳定性；分岔

网壳结构是曲面型的网格结构，兼有杆系结构和薄壳结构的特性。大型体育馆、展览馆、车站、飞机场、跨海桥梁、空间站、宇宙天线等设施都采用到网壳结构。网壳结构通常属于薄壁轻钢结构，变形比较大。在相当的跨度和载荷下，网壳结构的刚度小于其它网格结构并在加载过程中刚度还会削弱，在某些情况下若不考虑结构的非线性将会导致难以接受的误差，因此，国内外学者对其非线性理论方面都有探讨和研究[1-10]。本文在作者以往研究的基础上研究了矩形底面扁球面网壳在动静载荷作用下的非线性稳定性问题，指出了系统在纯动态和动载荷协同作用下平衡位置的变化情况。其结果为工程设计提供理论依据。

分岔理论是研究非线性方程(代数方程、微分方程、积分方程等)解的定性行为的数学理论。从分岔过程来看，失稳是发生分岔的物理前提，分岔后，系统不同状态间便产生了不连续的过渡，这就是突变，然后经过不断的分岔，最后系统所达到的终态就是混沌理论的研究对象。

1 用Floquent指数方法研究系统分岔问题

根据文献[11]，扁球面网壳周边在底面内固定夹紧的边界条件下的动力学微分方程：

(1)

在无外激励的条件下(g′=0)，系统的等价方程为：

(2)

图1 α′=0.6,β′=1.5时方程(2)的相图 图2 α′=2，β′=1.5时方程(2)的相图

2)当α′=2时，λ1,2=-1为相等的负数，平衡点为临界结点。图2给出了α′=2,β′=1.5时方程(2)的相图：

图3 α′=6，β′=1时方程(2)的相图 图4 α′=0，β′=1.8时方程(2)的相图

4)当α′=0时，λ1,2=±i为纯虚数，解的曲线是极限环，发生Hopf分岔。图4给出了α′=0,β′=1.8时方程(2)的相图：

图7 α′=6,β′=3时方程(2)的相图 图8 α′=0,β′=3时方程时的相图

图9 α′=1,β′=10时方程时的相图

从图1到图9的各个相图中可看出，相图中各点非常稠密，初值有很小的变化时相图变化非常大，证明了对初始条件的敏感依赖性。解的曲线为极限环时发生Hopf分岔。

2 结 论

[1]王新志，梁从兴，韩明君，等.扁柱面网壳的非线性动力学行为[J].应用数学和力学，2007,28(27)：135-140.

[2]Wang X Z,Li L,Han M J.Non-linear dynamic stability of single-layer shallow reiticulated spherical shells[A].In:Proceedings of Sino-US University Academic Conference[C].Lanzhou,China,2005.663-666.

[3]Amabili M,Sarkar A,Paidoussis M P.Chaotic vibrations of circular cylindrical shells，Galerkin versus reduced-order models via the proper orthogonal decomposition method[J]．J sound vibr 290(2006)：736-762.

[4]王番，刘人怀，潘燕环.正弦波纹扁球壳的非线性强迫振动[J].力学季刊，2006，27(02)：175-183.

[5]王新志,韩明君,赵艳影,等.扁锥面网壳非线性动力分岔与混沌[J].应用数学和力学,2006，27(05)：586-590.

[6]栗蕾，黄义.具有初始缺陷扁球面网壳的非线性稳定性[J].西安建筑科技大学学报，2009,41(01)：32-36.

[7]冯若强，武岳，沈世钊.单层平面索网结构非线性简化计算方法[J].工程力学，2007,24(10)：87-91.

[8]罗尧治，沈雁彬，严慧，等.大型体育场罩栅网壳结构的稳定性和抗震性能分析[J].建筑结构学报，2001,20(05):62-69.

[9]郭海山，沈世钊.单层网壳结构动力稳定性分析方法[J].建筑结构学报，2003,24(03):1-9.

[10]栗蕾，郝际平，丽广慧，等.考虑损伤双层扁球面网壳的非线性动力学特征[J].振动与冲击，2011,30(11)：106-111.

[11]顾小妹.扁球面网壳的非线性动力学特征[J].南京工业职业技术学院学报，2009,9(04):13-15.

[责任编辑：郑秀亮 英文编辑：刘彦哲]

Bifurcation Problem of Shallow Reticulated Spherical Shells with Rectangular Bottom

GU Xiao-mei

(Department of basic Courses,College of Jincheng,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing,Jiangsu 211156,China)

The nonlinear dynamic equations for reticulated shallow spherical single-layer shells with equi-lateral triangular lattices and rectangular bottom were established by using the method of quasi-shells,and the dynamic solution fulfilling the boundary conditions was given under the clamped conditions.The nonlinear dynamic equations for this problem were obtained by using Galerkin method.The problem of statistic at the equilibrium point of the system was discussed by exponentFloquet.Lastly the bifurcation map of the equilibrium point was plotted by numerical emulation under the differentstate.The movement of the equilibrium point of the sysem under the load of both dynamic and static was indicated.

quasi-shell method；nonlinear；stability；bifurcation

顾小妹(1980-)，女，江苏泰州人，南京航空航天大学金城学院基础部讲师。

O 343.5

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2015.02.002

来稿日期：2014-12-11