同阶元型为｛1，p2，4p，8p｝的群

邹 玄

（湖北民族学院 数学系，湖北 恩施 445000）

同阶元型为｛1，p2，4p，8p｝的群

邹 玄

（湖北民族学院 数学系，湖北 恩施 445000）

群的同阶元个数的集合称为群的同阶元型.研究了群的同阶元型为｛1，p2，4p，8p｝的群，并证明了这样的群G是不存在的.

在有限群里，可以用同阶元集合的性质来刻画有限群，它在数值上等于同阶元共轭类长度的和.在文献［1］中，Ito＾介绍了共轭型的概念，设G是一个有限群，｛n1，n2，…，nr｝为正整数集合，并且ni为G中的元的中心化子在G中的指数，这里不妨假设n1＞n2＞ ＞nr＝1，则向量（n1，n2，…，nr）被称作为群的共轭型，显然只有Abelian群的共轭型为（1），在文献［1］，文献［2］中Ito＾证明了有限群中共轭型为（n1，1）和（n1，n2，1）的群是幂零群和可解群，后来在文献［3］中，又研究了有限单群中共轭型为（n1，n2，n3，1）的类型．通过分析，在上面Ito＾给出同阶元长度的概念里，还可以替换共轭类的长度，并且能得到一个类似的定义，即同阶元型．

定义1 设G是一个有限群，定义g～h，如果g，h∈G且有相同的阶，有这种关系的等价类的集合长度称作G的同阶元型．

例如 G≠1是一个自由扭群，它的同阶元型为｛1，｜G｜｝；同阶元型为{1}的群只有1和Z2．在文献［4］研究了同阶元型｛1，15，20，24｝的群，证明了此时这样的群只能是交错单群A5，文献［5］中分类了同阶元型（n1，1）和（n1，n2，1）的群．文献［6］研究了某些单群用同阶元型刻画的问题．记f（n）＝｜｛g∈G｜gn＝1｝｜；记π（G）为的素因子集合，sn为群G中n阶元的个数，并记πe（G）为群G的阶的集合．证明下面的定理．

定理1 设G是有限群，若G的同阶元型为｛1，p2，4p，8p｝，其中p为素数，则这样的群G是不存在的．

1 一些引理及定理1的证明

引理1［7］（Frobenius） 设G是有限群，n为｜G｜的正整数因子，则n｜f（n）．

引理2 φ（n）｜sn（其中sn表示G中n阶元的个数，φ（n）表示Euler函数）．

以下所有的群G均为定理1中的群G．下面给出定理1的证明．

引理3 若G中的2阶元唯一，则G的Sylow 2－子群P2为循环群或广义四元素群．

考虑到G的同阶元的集合为｛1，p2，4p，8p｝，显然G中一定有2阶元，由Lagrange定理知群中元素的阶整除群G的阶，在给定群G的同阶元型后，为了确定群G，首先确定的素因子的集合．

引理4 若r≠2且r∈π（G），则π（G）⊆｛2，r｝．

证明 设有奇素数q，r∈π（G）且q≠r，则sq≠sr且sqr＝0．事实上，若q＝r，则sqr≡1（modqr），而qr｜1＋sq＋sr＋sqr＝1＋16p（其中sq＝sr＝4p，sqr＝8p）或者qr｜1＋sq＋sr＋sqr＝1＋20p（其中sq＝sr＝8p，sqr＝4p），因为 q｜1＋sq，r｜1＋sr，即有：q｜1＋4p，r｜1＋4p，qr｜1＋16p或q｜1＋8p，r｜1＋8p，qr｜1＋20p得q｜3，r｜3或q｜3，r｜3．所以q＝r＝3．这与q≠r矛盾，从而sq≠sr．不妨设sq＝4p，sr＝8p，由于qr｜1＋sq＋sr＋sqr＝1＋12p＋sqr，若sqr＝4p则有q｜1＋16p，r｜1＋8p，即r｜1，矛盾．若sqr＝8p则有q｜1＋20p，r｜1＋4p，即q｜4，矛盾．故sqr＝0．现让G的Sylow q－子群Pq作用在所有r阶元上，则q｜sr，同样r｜sq．而sr和sq为4p或8p，则有q＝r＝p．矛盾于q≠r．

引理5 π（G）⊆｛2，r｝且G的同阶元型为｛1，p2，4p，8p｝，则r＝3，5，4p＋1，8p＋1．

证明 由φ（r）｜sr，得r－1｜2，4，8，p，2p，4p，8p，即r＝2，3，5，p＋1，2p＋1，4p＋1，8p＋1．由r是奇素数知r≠2，下证r≠p＋1，2p＋1．若r＝p＋1，则由r｜1＋sr有1＋p｜1＋4p或1＋p｜1＋8p，故p＝2或p＝6，矛盾．若r＝2p＋1，有1＋2p｜1＋4p或1＋2p｜1＋8p，矛盾．

引理6 r∈π（G）且r≠2，则G的Sylow r－子群的方次数exp（Pr）＝r．

证明 因为r＞2，所以sr＝4p或8p．若sr2≠0，则r｜sr2，又sr2＝4p或8p，从而r＝p，这样sp＝4p或8p．这与p｜1＋sp矛盾．故sr2＝0．

引理7 设π（G）＝｛2，r｝且G的同阶元型为｛1，p2，4p，8p｝，若G中有4阶元，则r＝3．

证明 由引理6，exp（Pr）＝r，设exp（P2）＝2e（e≥2），若G中无2e·r阶元．则s2e有因子r，另外s2e＝4p或8p，这样r＝p，矛盾．若G中有2e·r阶元，根据Weniser定理：r｜s2e·r＋s2e＝8p，12p或16p，考虑到r≠p，故r＝3．

推论1 设π（G）＝｛2，r｝且G的同阶元型为｛1，p2，4p，8p｝，若r≠3，则exp（P2）＝2．

引理8 设π（G）＝｛2，r｝且G的同阶元型为｛1，p2，4p，8p｝，若r＝4p＋1或8p＋1，则这样的G是不存在的．

证明 注意到若G的2阶元的个数s2＝1时，G的同阶元型的集合的势小于4．所以s2＝p2且πe（G）＝｛1，2，r，2r｝，sr＝φ（r），sr≠s2r．故若r＝4p＋1，有：1＋p2＋4p＋8p＝2n（4p＋1）（n＞1），则4p＋1｜1＋p2＋12p，即：4p＋1｜31，矛盾．若r＝8p＋1，有：1＋p2＋4p＋8p＝2n（8p＋1），则8p＋1｜1＋p2＋12p，即：8p＋1｜31，矛盾．

引理9 设π（G）＝｛2，5｝且G的同阶元型为｛1，p2，4p，8p｝，则不存在这样的G．

证明 由引理6和推论1，G的所有Sylow子群的方次数都是素数，且G中无4阶元．考虑到G的同阶元型的集合的势等于4且｜πe（G）｜≥4，故G中必有10阶元．｜G｜＝1＋s2＋s5＋s10＝1＋p2＋12p，即有5｜1＋p2＋12p，另外由Weniser定理有5｜s2＋s10＝p2＋4p或p2＋8p，考虑到p≠5，有5｜p＋4或p＋8，再结合5｜1＋p2＋12p导致5｜31．矛盾．

引理10 设π（G）＝｛2，3｝且G的同阶元型为｛1，p2，4p，8p｝，则｜G｜＝2m·9（m≤5）且s3＝8p．

证明 因为φ（2i）｜s2i＝4p或8p（i≥2），故i≤4．由引理8，G中必有6阶元．由引理7，G中有2e·r（e≤3）阶元，设｜G｜＝2m·3n，由Weniser定理知：2m｜s3＋s3·2＋s3·22＋s3·23≤32p，所以m≤5．又因为exp（P3）＝3且p≠3，所以3n｜s2＋s6＝p2＋4p或p2＋8p，故3n｜p＋4或p＋8，另外3n｜1＋s3＝1＋4p或1＋8p，从而3n｜p＋4，3n｜1＋4p得：

或3n｜p＋8，3n｜1＋8p得：

或：

由式（1）n＝1，则Sylow 3－子群的个数为4p／2＝2p为的因子，从而p＝3或p＝2．同理由方程（2）n＝1，则8p／2＝4p为的因子，从而p＝3或p＝2．显然p＝3是矛盾的，而p＝2时，G的同阶元型为｛1，4，8，16｝，由GAP［8］计算知这样的群是不存在的．

引理11 设｜G｜＝2m·9（m≤5）且s3＝8p，则不存在这样的群G．

证明 因为｜G｜≥1＋p2＋4p＋8p，且｜G｜≤25·9，所以1＋p2＋12p≤25·9，即p≤11，故p＝3，5，7，11．而所有可能的p值都与9｜1＋s3＝1＋8p矛盾．

综上所述，G的同阶元型为｛1，p2，4p，8p｝的群是不存在的，从而定理1得证．

2 结论

本结果证明了群G的同阶元型为｛1，pq，4p，8q｝（p，q为素数）中p＝q的一种特殊情况，然而令p＝5，q＝3时，G的同阶元型为｛1，15，20，24｝，即为交错单群A5，这个结论已在文献［4］中证明了，本文旨在为证明猜想：“G的同阶元型为｛1，pq，4p，8q｝（p，q为素数）的群为交错单群A5”作铺垫，其思想和方法都起到了一定的促进作用．

［1］Ito＾N.On finite groups with given conjugate types I［J］.Nagoya Math J，1953，6：17－28.

［2］Ito＾N.On finite groups with given conjugate types II［J］.Osaka J Math，1970，7：231－251.

［3］Ito＾N.On finite groups with given conjugate types III［J］.Math Z，1970，117：267－271.

［4］Shen R，Chang C，Jiang Q，et al.A new characterization A5［J］.Monatsh Math，2010，160：337－341.

［5］Shen R.On groups with given same－order types［J］.Comm Algebra，2012，40：2140－2150.

［6］Liu S.A characterization of projective special unitary group U3（5）by use［J］.Arab J Math Sci，2014，20（1）：133－140.

［7］Feit W.On large Zsigmondy primes［J］.Proc Amer Math Soc，1988，120：29－36.

［8］Rainbolt J G，Gallian J A.Abstract algebra with GAP［M］.Cole Cengage Learning，2010.

责任编辑：时 凌

On Groups with the Same－order Type of｛1，p2，4p，8p｝

ZOU Xuan
（Department of Mathmatics，Hubei University for Nationalities，Enshi 445000，China）

The set of elements of the same order in a finite group is called the same－order type.This arti⁃cle has discussed the groups of the same－order type｛1，p2，4p，8p｝and obtained the result that there ex⁃ists no group as mentioned above.

finite group；same－order type；Sylow group

O152

A

1008－8423（2015）03－0273－02

10.13501／j.cnki.42－1569／n.2015.09.011

2015－07－16.

国家自然科学基金项目（11201133）.

邹玄（1989－），男，硕士生，主要从事有限群理论的研究.