平面上的广义Bonnesen型不等式

2015-06-23 16:22朱保成
关键词:均质湖北半径

朱保成

(湖北民族学院 数学系,湖北 恩施 445000)

平面上的广义Bonnesen型不等式

朱保成

(湖北民族学院 数学系,湖北 恩施 445000)

研究了平面上的广义Bonnesen型不等式.获得了平面上Aleksandrov-fenchel不等式的加强形式,这些加强形式是经典Bonnesen型不等式的推广.更一步地,还得到了平面上Aleksandrov-fenchel不等式的上界结果,这些不等式都很好地刻画了凸集的相对均质积分的性质.

均质积分;Steiner公式;Bonnesen型不等式;Aleksandrov-fenchel不等式

设κn表示ℝn中所有紧致凸集所构成的集合,表示ℝn中所有凸体(具有非空内点的紧致凸集)的集合.设集合K⊂ℝn,它的体积(即n维Lebesgue测度)记为V(K).令ωn表示n维单位球B的体积.凸集K和E的Minkowski和定义为K+E={x+y:x∈K,y∈E},凸集K和实数t的Minkowski数乘定义为tK={tx:x∈K}.

设K1,K2,…,Km是ℝn中紧致凸集,K1,K2,…,λm≥0,则λ1K1+λ2K2+ +λmKm的体积是关于 λ1,λ2,…,λm的n阶齐次多项式,即:

其中系数V(Ki1,Ki2,…,Kin)是非负的且关于指标对称,称之为Ki1,Ki2,…,Kin的混合体积[1-3].混合体积具有非常重要的单调性,即:令两凸集K,L∈κn满足K⊂L,而K2,K3,…,Kn∈κn是任意的凸集,则有:

混合体积的另外一个重要性质是它的Minkowski线性性,即:∀K,L,K2,…,Kn∈Kn和A,p≥0,则有:

著名的Minkowski Steiner公式(或相对Steiner公式)事实上是外平行体K+sE的体积关于s的n阶多项式,即:

其中系数Wi(K;E)称为K关于E的相对均质积分,它们是混合体积的特殊形式.特别地,W0(K;E)=V(K)和Wn(K;E)=V(E).当E=B时,式(3)右边的多项式就成了经典的Steiner多项式[4],此时Wi(K;B)简记为Wi(K)并称为K的经典的i-阶均质积分[1-3].在这种情况下,nW1(K)是K的表面积S(K)且W0(K)=V(K),Wn(K)=ωn.

K关于E的相对内半径r(K;E)和相对外半径R(K;E)分别定义如下:

当E=B时,r(K;B)=r(K)且R(K;B)=R(K),分别是K的经典的内切圆半径和外接圆半径[1,5].

在平面上内半径,外半径及均质积分由著名的Bonnesen型不等式相互联系在一起:设K∈κ2且∈,则有:

该式的证明是由Blaschke给出的[6],而Bonnesen本人证明了当E=B的情形[7].这个不等式加强了Aleksan⁃drov-fenchel不等式,即式(4)加强了如下不等式的2维情形:设K∈κ2且∈,则有:

当K与E位势,即K=λE+x(λ≥0,x∈ℝn)时,等号成立.

事实上,不等式(5)就是著名的Aleksandrov-fenchel不等式的特殊形式.这些不等式都给出了相对均质积分的很好的性质,关于相对均质积分的研究可参看文献[8-12],而这些不等式又是经典的Bonnesen型不等式的推广[7,13-20].

将利用凸体的体积刻画平面情形的Aleksandrov-fenchel不等式的加强形式.为此,还需要下面的非常重要的命题.

命题1[6]设K∈κ2且∈κ20,则有:

此时,式(7)和式(8)的左边=0=右边,故当E=B且K是一个圆盘时,不等式(7)和式(8)等号成立.将式(7)和式(8)两边同时相加,并平方可得:

因为W0(K;E)=V(K),故不等式(7)得证.

将式(7)的两边同时乘以R(K;E),式(8)两边同时乘以r(K;E),再相加可得:

当K与E位势时,式(10)和式(11)等号成立.

另一方面,因为:r(K;E)E⊂K⊂R(K;E)E,结合混合体积的单调性(式(1))和线性性(式(2))可得:

如同定理1的证明过程中等号成立条件的论述一样可知,当E=B且K是一个圆盘时,式(12)和式(13)等号成立.综合式(10)~(13)即可证得引理.

定理2 在ℝ2中,设E是一个固定凸体及K是任意凸体,则有:

[1]Schneider R.Convex Bodies:The Brunn-MinkowskiTheory[M].Cambridge:Cambridge University Press,1993.

[2]Gardner R J.Geometric tomography[M].Cambridge:Cambridge Univ Press,1995.

[3]Gruber P M.Convex and Discrete Geometry[M].Berlin Heidelberg:Springer,2007.

[4]Steiner J.Uber parallele Flachen[J].Monatsber Preuss Akad Wiss,1840:114-118[Ges.Werke,Vol II(Reimer,Berlin,1882)245-308].

[5]Bonnesen T,Fenchel W.Theorie der konvexen Korper[M].Berlin:Springer,1974.English translation:Boron L,Christenson C,Smith B.(eds.)Theory of convex bodies.Moscow:BCS Associates,1987.

[6]Blaschke W.Vorlesungen iiber Integralgeometrie[M].3rd edn.Berlin:Deutscher Verlag der Wis-senschaften,1995.

[7]Bonnesen T.Les problemes des isoperimetres et des isepiphanes[M].Paris:Collection de monographies sur la theorie des fonctions,Gauthier-Vil⁃lars,1929.

[8]Henk M,Hernandez Cifre M A.Notes on the roots of Steiner polynomials[J].Rev Mat Iberoamericana,2008,24:631-644.

[9]Hernandez Cifre M A,Saorin E.On the roots of the Steiner polynomial of a 3-dimensional convex body[J].Adv Geom,2007,7:275-294.

[10]Hernandez Cifre M A,Saorin E.On inner parallel bodies and quermassintegrals[J].Israel J Math,2010,177:29-48.

[11]Hernandez Cifre M A,Saorin E.Differentiability of quermassintegrals:A classification of convex bodies[J].Tran Amer Math Soc,2014,366:591-609.

[12]Zhu B,Xu W.On the ith quermassintegral of inner parallel bodies(in Chinese)[J].Sci Sin Math,2015,45:1687-1698.

[13]Bonnesen T.Ubereine Verscharfung der isoperimetrischen Ungleichheit des Kreises in der Ebene and auf der Kugeloberflache nebst einer Anwend⁃ung auf eine Minkowskische Ungleichheit fur konvexe Korper[J].Math Ann,1921,84:216-227.

[14]Osserman R.Bonnesen-style isoperimetric inequality[J].Amer Math Monthly,1979,86:1-29.

[15]Xia Y,Xu W,Zhou J,et al.Reverse Bonnesen style inequalities in a surface XE of constant curvature[J].Sci China Math,2013,56:1145-1154.[16]Xiong G,Cheung W,Li D.Bounds for inclusion measures of convex bodies[J].Adv Appl Math,2008,41:584-598.

[17]Zeng C,Ma L,Zhou J,Chen F.The Bonnesen isoperimetric inequality in a surface of constant curvature[J].Sci China Math,2012,55:1913-1919.[18]Zhang G.Geometric inequalities and inclusion measures of convex bodies[M].Mathematika,1994,41:95-116.

[19]Zhou J.On Bonnesen-type inequalities[J].Acta Math Sinica(Chinese Series),2007,50:1397-1402.

[20]Zhou J,Ren D.Geometric inequalities-from integral geometry point of view[J].Acta Math Scientia,2010,30:1322-1339.

责任编辑:时 凌

The General Bonnesen-type Inequalities on Plane

ZHU Baocheng
(Department of Mathematics,Hubei University for Nationalities,Enshi 445000,China)

This paper studies the general Bonnesen type inequalities on plane.We get the stronger Alek⁃sandrov-fenchel inequalities on plane,which are extensions of the classical Bonnesen type inequalities. Moreover,we also give the upper bounds for the Aleksandrov-fenchel inequalities on plane.

quermassintegral;Steiner formula;Bonnesen-type inequality;Aleksandrov-fenchel inequality

01841

A

1008-8423(2015)03-0241-04

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2015.09.001

2015-07-16.

国家自然科学基金项目(11501185);恩施州科学技术局项目(恩州科业[2014]21号);湖北民族学院博士启动基金项目(MY2014B001).

朱保成(1980-),男,博士,讲师,主要从事积分几何与凸几何分析的研究.

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