悬链面上各种曲线的研究

陆亚哲，黄卫华，胡 艳

（1.文山学院 数学学院，云南 文山 663000；2.西安培华学院基础部，陕西 西安 710125）

悬链面上各种曲线的研究

陆亚哲1，黄卫华1，胡 艳2

（1.文山学院 数学学院，云南 文山 663000；2.西安培华学院基础部，陕西 西安 710125）

悬链面是微分几何中很重要的一种曲面.主要借助曲面的第一、第二类基本量及曲面上的各种曲率用各种方法来研究悬链面上各种曲线，例如渐近线、曲率线、测地线，得出曲线的形状、方程和曲线具有的一些性质.

渐近线；曲率线；测地线；曲纹坐标

悬链线是一种曲线，因形状与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名.适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数［1］.它在数学中和工程中都有很重要的应用.悬链线围绕其水平准线旋转而成的曲面称为悬链面，其参数方程表示为：．本文就悬链面上的各种曲线加以研究．

悬链面的重要性在于它既是不寻常的极小曲面［3］，又是旋转曲面．它满足极小曲面的性质，根据极小曲面的性质，可知悬链面的平均曲率为0．并且悬链面和正螺面之间存在保长变换，那么它和正螺面之间也是有密切联系的．它上面特殊的曲线如渐近线、测地线等具有一些性质．现在就它上面的一些特殊的曲线如渐近线，测地线，曲率线及坐标曲线进行研究．

1 悬链面中的第一、第二基本形式

2 悬链面上的渐近线［4］

正螺面上一族渐近线是直线，另一族渐近是螺旋线．那么对于悬链面，会不会有相似的结论呢？

结论1 悬链面上的渐近线是直线，并且两直线是正交的．即悬链面上的渐近网是正交网．

证明 把悬链面的第二类基本量代入渐近曲线的微分方程：

解上面的微分方程，得到两条直线，所以悬链面上的渐近线是直线．

由第一类基本量F＝0可知两直线是正交的，即悬链面上的渐近网是正交网．

3 悬链面上的曲率线

根据悬链面是旋转曲面，可知悬链面上的曲率线［5］一族是悬链线，一族是平行圆．根据第一、第二类基本量F＝M＝0，可知悬链面上的曲纹坐标网是曲率线网．

根据主曲率、高斯曲率和平均曲率的计算公式，可知：

可知悬链面上所有点都是双曲点，也可根据LN－M2＝－1＜0恒成立．

推得悬链面上的所有点都是双曲点，Dupin指标线是一对共轭的双曲线.

4 悬链面上的测地线［6］

关于旋转曲面的测地线，有下面的结论成立：

引理1［7］旋转曲面上的平行圆为测地线当且仅当是平行圆上每点处的子午线的切线平行于旋转轴．

引理2［8］旋转曲面上一非平行圆c为测地线当且仅当c上每点处均满足ρ·cosθ＝0（ρ表示平行圆上的点到旋转轴的距离）．

引理3［7］曲面上非直线的曲线是测地线的充要条件是除曲率为0的点外，曲面的主法线重合与曲面的法线．

对于悬链面，F＝0时，可以用测地曲率kg＝0来找出它的测地线．根绝刘维尔公式：

由上可知，悬链面的曲纹坐标网的u－曲线即悬链线为测地线，v－曲线为测地线当且仅当双曲正弦为0，即u＝0．

以上结论也可以通过引理3直接推出．通过引理1和引理2进行验证．对于悬链面上的坐标曲线，计算它们的基本单位向量：

对于v－曲线—平行圆，根据引理1，当且仅当v－曲线的基本向量α平行于旋转轴．由上面计算知：α⊥β，α⊥n，根据定义，α，β，n在同一个平面内，故β／／n．

若用微分方程组计算测地线的方程如下所示：

u－曲线和v－曲线为测地线时也满足上述方程．

5 结语

通过直接计算的方法，得出悬链面的渐近线为正交的直线，悬链面上的曲纹坐标网为曲率线网，最后给出悬链面上测地线的方程和坐标曲线在何种情况下为测地线，为进一步的研究提供了依据.

［1］谢非，孙明珠.链线的几何性质研究［J］.长春教育学院学报，2014，30（4）：33－34.

［2］莫妮佳.悬链面与正螺面之间的内在关系［J］.湖州师范学院学报，2012，34（1）：23－26.

［3］陈维桓.微分几何初步［M］.北京：北京大学出版社，1990：156－170.

［4］孟道骥.微分几何［M］.2版.北京：科学出版社，1999：163－176.

［5］霍去娟.曲面上的曲率线与测地线的积分算法［J］.科教季刊（上旬刊），2014（3）：207－209.

［6］刑家省，高继主，罗秀华.曲面上测地线方程程线的性质［J］.四川理工学院学报，2015，28（1）：63－66.［7］梅向明，黄敬之.微分几何［M］.4版.北京：高等教育出版社，2008：15－54.

［8］黄保军.几类特殊曲面上的测地线［J］.大学数学，2008，24（3）：136－139.

责任编辑：时 凌

Research of Curves on Catenoid

LU Yazhe1，HUANG Weihua1，HU Yan2
（1.School of Mathematics，Wenshan University，Wenshan 663000，China；2.Department of Basic Courses，Xi′an Peihua University，Xi′an 710125，China）

Catenoid is a very important curve in differential geometry.In this paper，we research various curves，such as the asymptote，lines of curvature and geodesic.Then we obtain the shape，equation and some property of the curves using the various curvatures.

asymptote；lines of curvature；geodesic；curve coordinate

O186.11

A

1008－8423（2015）03－0252－04

10.13501／j.cnki.42－1569／n.2015.09.004

2015－07－10.

国家自然科学基金项目（11361074）；云南省教育厅基金项目（2015Y470）；文山学院科研基金项目“曲率和挠率相关问题的研究”（14WSY01）；文山学院解析几何精品课程建设项目.

陆亚哲（1985－），女，硕士，主要从事代数和几何的研究.