一类具反应扩散的捕食模型平衡态模式的定性分析

谢君辉，刘婷婷，孙 涛

（湖北民族学院 理学院，湖北 恩施 445000）

一类具反应扩散的捕食模型平衡态模式的定性分析

谢君辉，刘婷婷，孙 涛

（湖北民族学院 理学院，湖北 恩施 445000）

研究了一类具反应扩散的捕食－食饵模型，运用分歧理论讨论了该模型平衡态半平凡解的局部分支解的存在性，进而，给出了该问题正平衡解存在性的充分条件.

捕食模型；反应；扩散；平衡态

生物数学是生物学与数学之间的学科，它应用数学方法研究和解决生物问题，并对与生物有关的数学方法进行理论研究.捕食－食饵模型是生物数学中的一类重要模型，关于捕食－食饵模型，人们不仅考虑空间分布均匀的常微分方程模型，而且，而且也考虑空间分布不均匀的偏微分方程模型，即具反应扩散的捕食模型.利用反应扩散方程组来研究生物模型，已经成为偏微分方程的一个重要研究方向，同时也成为生物学发展的一个趋势［1－7］.由于反应扩散方程组解的长时间行为与其相应的平衡态问题密切相关，因此，确定反应扩散方程组平衡解的定性性质是后续研究的首要环节和任务.

本文就如下捕食模型进行研究：

上述两个模型中，Ω⊂Rn（n≥2）为有界开区域，边界∂Ω充分光滑，λ，μ，a，b，c均为正常数，u，v分别表示在一定的范围Ω内食饵和捕食者物种的密度．本文中，限定μ＞0，表明捕食者还有其他的食物来源为HollingIV类功能反应函数（又称Monod－haldance函数）.此外，从生态学角度来看，齐次Neumann边界条件表明系统是封闭的．

模型（1）描述在一个封闭的环境里，食饵与捕食者相互影响的关系．模型（2）则刻画在这样的一个封闭环境中，捕食者和食饵的数量能否达到某个共存平衡态．

1 主要结论及证明

引理1［7］（基本的分歧定理） 设X，Y为Banach空间，U＝S×V为R×X中的开集，f∈C2（U，Y）且f（λ，0）＝0，又L0＝D2f（λ0，0），L1＝D1D2f（λ0，0）满足下列条件：

则存在δ＞0和C1连续曲线（λ，φ）：（－δ，δ）→R×Y使得对任意．而且存在（λ0，0）的领域，使得f的零点或者在这条曲线上，或者为（λ，0）．

定理1 假设μ＞λ，则模型（2）存在正解（u，v）＞（0，0）．

证明 首先令μ＞λ，将λ取为分歧参数，由半平凡非负解｛λ，0，θ［μ］｝构造出方程的解，其中θ［μ］为问题：

同样有：存在充分小δ＞0及C1连续曲线（－δ，δ）：→R×Z λ（0）＝λ～，φ1（0）＝φ2（0）＝0且（λ（s）；w（s），χ（s））＝（λ（s）；w（φ＋φ1（s）），s（ψ＋φ2（s）））满足（λ（s）；w（s），χ（s））＝0，其中 X＝Z⊕span｛（φ，ψ）｝．因此（λ（s）；U（s），V（s））（｜s｜＜δ）是模型（2）的分歧解，其中U（s）＝s（φ＋φ1（s）），V（s）＝s（ψ＋φ2（s））．若取0＜s＜δ，则它恰好为模型（2）的正解，且在分歧点｛μ～；θ［λ］，0｝附近的非平凡负解要么在分支｛（λ；0，θ［μ］），λ∈R＋｝上，要么在｛（λ（s）；U（s），V（s）），0＜s＜δ｝上，即定理1得证．

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责任编辑：时 凌

Qualitative Analysis of a Class of Predator Pray Model with Reaction Diffusion

XIE Junhui，LIU Tingting，SUN Tao
（School of Science，Hubei University for Nationalities，Enshi 445000，China）

In this paper，we study a class of predator－prey model with reaction and diffusion.By using the bifurcation theory，we discuss the existence of semi－trivial solution for local branch solutions of the steady states and give the sufficient conditions for the existence of positive solutions of the problem.

predator－prey model；reaction；diffusion；equilibrium

O029

A

1008－8423（2015）03－0247－05

10.13501／j.cnki.42－1569／n.2015.09.003

2015－06－16.

湖北省教育厅科学技术研究项目（B2015097）；湖北民族学院博士启动基金（MY2013B019）；湖北民族学院大学生创新项目（2014Z048）.

谢君辉（1985－），女，博士，讲师，主要从事偏微分方程理论及应用的研究.