巧“借助”，解“概念”

董玉华

数学概念是数学知识系统中的基本元素，是解决数学问题的前提，是数学研究对象的高度抽象和概括，它反映了数学对象的本质属性，是最重要的数学知识之一。概念是数学基础知识中最基础的知识，是数学知识的基石，是学生进行数学思维的第一要素，对它的理解和掌握关系到学生计算能力和逻辑思维能力的培养，关系到学生解决实际问题的能力和对学习数学的兴趣。

一、借助生活经历，感悟概念

小学生理解和掌握概念都是建立在已有知识经验基础上的。联系生活实例，利用已有知识和活动经验，采用直观操作等活动形式，自然地引出概念，既可以激发学生的学习兴趣，激活学生的思维，又能帮助学生依靠对经验的概括和新旧概念的本质，通过同化概念的方式获得新概念。在《认识负数》一课，借学生的生活经验，把温度作为引入负数的基本素材，让学生通过读温度计上的温度，用手势表示温度计中的零上温度和零下温度，理解像零下几度的数就是生活中存在的负数。

师：观察一下，温度计上有两个2度，如何区分？

生：上面的是2度，下面的是零下2度。

生：零上的是零上2度，零下面的是零下2度。

生：零上的两格是2度，零下的格是负2度。

师：先找什么？再怎么找？

生：先找0，再往下找2格就是零下2度。

师：0有什么作用？

生：0是分界的作用。高于0度就是零上的温度，低于0度就是零下的温度。

师：非常棒，0是零上温度和零下温度的分界点。零下2度，表示-2度，零上2度表示2度。

师：现在知道为什么要用-2度来表示零下2度了吗？

生：因为有两个2度，是零下还是零上要区分开来。

师：是啊，以前学过的数只能表示零度或零上的温度，现在用负数来表示零下的温度。

师：像-2这样的数，你在生活中见过吗？

生：见过。电梯上的按钮有-1、-2，表示地下一层、地下二层。

师：那知道這里的-1层是以什么为分界点的吗？

生：以地面为分界点，地面就像是0，地面以下第一层就是-1层，地面以上第一层是1层。

师：你用自己的方式在纸上表示出你所看到的-1、-2的意义。

生各自用画图、写话等方式表示-1、-2的意义。

对于负数的理解，仅仅是看到它外显的样子，即一个数的前面添一个负号，是远远不够的。0作为正数与负数的分水岭，0既不是正数也不是负数。对于0的认识，则是数感的一次突破。在数的领域，0通常表示没有。而在生活中，温度计上的温度学生已经会读，借助“在温度计先找什么，再怎么找”感知到0作为一个分界点，或者说是一个标准的作用。为了让学生更深入地理解0作为标准的状态，“像这样的负数，你在生活中还看到过吗？”借助学生的生活经验，从生活中的例子提取出有关正数与负数的信息，并进一步揭示正负数的本质特征，加深对负数这一概念的感悟。学生在生活中经常见到电梯里-1、-2，也知道-1就表示地下1层，但对于以地面为分界点也许还比较模糊。借助刚才温度计上以0为分界点的认知和动手画图，更深入地感悟负数的意义。

二、借助操作体验，深化概念

操作活动既是感知本源，也是思维的基础，儿童思维发展的一般规律性是从具体的实验操作开始的。让学生在操作中思考，在操作中感悟，进而深化对概念的认识。比如，在《认识分数》一课中，为了让学生感知一个整体的几分之一，我设计了以下活动：

师：盒里有4个桃，平均分给两只小猴，每只小猴分得这盒桃的几分之几？你能画一画，分一分，再涂一涂吗？

生：我把4个桃平均分成2份，每只小猴分得这盒桃的二分之一。

生：我把4个桃平均分成2份，每小猴分到2个桃，也就是这盒桃的二分之一。

师：为什么是二分之一？

生：因为把桃平均分成了2份，一只猴分了其中的一份，也就是二分之一。

师：如果这盒桃有6个，平均分给2只猴，每只猴分得这盒桃的几分之几？请你再来画一画，分一分，涂一涂。

生：每只猴还是分得这盒桃的二分之一。

生：把6个桃平均分成2份，每只猴分到3个桃，也就是分得这盒桃的二分之一。

师：为什么是二分之一？

生：因为把桃平均分成了2份，一只猴分了其中的一份，也就是二分之一。

师：如果这盒桃有8个呢？

生：每只猴还是分得这盒桃的二分之一。

师：刚才的分桃过程，有什么相同与不同的地方？

生：每只小猴都是分得这盒桃的二分之一。

生：都是平均分成两份。

生：只是桃的总个数不同，每只小猴分到的个数也不同。

师：桃的总个数不同，每只猴分到的个数也不同，为什么却都可以用二分之一来表示呢？

生：因为都是把桃平均分成2份，每只猴都是分得其中的一份，所以都用二分之一来表示。

师：是啊！不管桃的总个数有几个，只要是把桃平均分为2份，表示其中的一份就是二分之一。

分数的本质，即把一个整体平均分成若干份，表示其中的一份就用几分之一来表示，与整体的具体个数无关，只与平均分的份数和表示的份数有关。为了触及分数的本质，通过“画一画、分一分、涂一涂”的动手操作，经历分桃的异同之处，从而发现并揭示概念，真切地感受分数的本质，操作与本质对接，思考与感悟共融。借助操作体验，丰富并深化对概念的理解，加深体验与思考的结合。

三、借助解决问题，提升概念

引导学生运用概念去解决问题，培养学生思维、发展数学能力。让学生在解决问题的过程中，巩固所学概念，明晰易模糊的概念之间的区别。学生在学习了周长和面积之和，经常容易混淆周长与面积这两个概念的本质特征。可以通过解决问题帮助学生清晰周长与面积之间的本质区别。例如：

两个完全一样的正方形边长是3厘米，拼成一个长方形，长方形的周长是多少？面积呢？

师：你打算怎样解决这个问题？

生：我觉得先算出一个正方形的周长是3×4=12厘米，再用12×2=24厘米。长方形的周长就是24厘米。面积也一样，先算一个正方形的面积是3×3=9平方厘米，再算9×2=18平方厘米。长方形的面积就是18平方厘米。

生：我觉得他算的面积是对的，但周长不对。两个正方形合并起来变成长方形，中间有两条边就不在周长里了，长方形的周长就会比两个正方形的周长和少掉两条边的长度。

师：为什么中间两条边不能算？

生：因为长方形的周长是长方形一周边线的长，中间两条边不在长方形边线上。

师：非常棒，你从长方形周长的概念上出发说明了你的观点。还有谁想说吗？

生：这两条边是正方形的，因此算正方形的周长时，要算上这个边。但是这两条边不是长方形的，因此长方形的周长不能算上这两条边。

师：两个完全一样的正方形拼成一个长方形，长方形的周长比两个正方形的周长之和少了两条边长。那面积呢？

生：长方形的面积等于两个正方形的面积和。

师：咦？长方形的周长比两个正方形的周长和少了两条边，而长方形的面积却为什么等于两个正方形的面积和呢？

生：面积跟周长不一样，面积是里面的面的大小。拼的过程中面积没有重叠或减少，而周长却少掉了两条边线的长。

在数学概念的学习过程中，学生只有真正理解了知识的内涵，才能内化为自己的知识和经验，并灵活运用到解决具体问题的情境中去。也只有在解决问题的过程中才能进一步巩固概念、理解概念，提升对概念本质的理解。