邢成云老师“幂的运算性质”教学设计

幂的运算性质有四条：同底幂的乘法、同底幂的除法、幂的乘方、积的乘方，都是基于幂的运算，教材上安排了4个课时，零打碎敲，重起炉灶，无形中浪费了课堂启动起来的现场资源，使得思维脉络得不到有效延伸，缺失了思维的连贯性。鉴于此，把这4课时内容进行了整合，把本节课安排在有理数的乘方的第三课时，借助乘方的概念，步步推进，完成幂的运算性质的整体构建，然后再利用1课时，适度演练，巩固成果，完成这一单元的教学。

1.开放创新，提出问题

问题1：给出三个数2，3，4，任取其中两个数进行运算，你能写出使运算结果最大的算式吗？

发现乘方运算变大的可能性大，估计可能会出现23，24，32，34，42，43中的一个或几个，至此，师生可共同复习回顾上一节课学习的乘方的意义以及底数、指数、幂的概念。

[设计意图]教师提供给学生开放性的小问题，意在引导学生回顾有理数的四则运算和有理数乘方的概念。因为底数、指数、幂等概念是理解本节课同底数幂的基础，而这些概念是刚刚学习过的，学生在潜意识中不难想到乘方运算。

问题2：请同学们思考：：

（1）到现在为止，我们已经研究了有理数的哪些运算？是怎样研究的（这些运算研究的基本思路怎样）？

加、减、乘、除、乘方，从低级到高级，并注意了互逆关系的使用；

（2）对照有理数的运算，猜想一下，幂的运算有哪些？

应该也有加、减、乘、除、乘方等运算；

（3）在学习有理数的内容时，主要体现了哪些思想方法？分类思想、类比思想。

[设计意图]一是通过问题串激活原有认知结构中的知识，为新知学习奠定知识、思想等方面的基础；二是新知与旧知无论从内容、形式或研究方法上都有类似性，所以通过问题2明确研究思路，搭建认知框架。

2.借力乘方，拾级而上

借力前面数的运算，再设置两个题组，从特殊到一般推进，从底数、指数均为数，到其中之一为字母，一直延伸到全部字母化，拾级而上，逐层递进，获得同底数幂的运算法则，而后以此为起点，通过系列化的问题，完成幂的乘方、积的乘方的建构。

（1）同底数的乘法运算（底数、指数有一类是字母的）：

a3·a4=？b2·b4=？m2·m3=？2m·2n=？

问题：计算完成后借助观察提出什么猜想？略。

（2）同底数的乘法运算（底数、指数均为字母的）：

am·an=？

am·an = （aaa…a）·（a·a·a…a）（______的意义）

___个a___个a

= a·a·a…a （乘法结合律）_____个a

= am+n （_______的意义）

问题1：你能归纳出一般结论吗？

一般地，若字母m、n都是正整数，则am·an = am+n（m、n是正整数）

问题2：你能类比上式猜出am÷an=___，并验证你的猜想吗？

可通过a4÷a2=？等进行具体化验证，而后再进行一般性验证。

追问：同底数幂的除法运算法则用文字表述为什么呢？

类比同底数幂的乘法运算，可叙述为：同底数幂的除法运算是底数不变，指数相减。

问题3： m、n、p是正整数，你会计算am·an·ap吗？

根据乘法的结合律，am·an·ap =（am·an）ap = am+n·ap=am+n+p。进而把同底数幂推广至多个同底数幂的运算。

问题4： a4·a4·a4·a4·a4·a4=？你能根据运算的结果做出猜想吗？

……

[设计意图]以同底数幂作基点，先行进行同底数幂中因数个数的推广，而后从指数特殊的角度、底数因数增至两个的角度，步步延伸，揭示出幂的另外两条运算性质，既让学生认识到知识的来龙去脉，更重要的是弄清它们的内在关联，这种知识的自然生长，对促成学生的迁移能力大有裨益。

对本节而言，乘方即是新知“同底数幂”的“生长点”， 而“同底幂的除法、幂的乘方、积的乘方”，即是新知的“延伸点”，前后贯通，一脉相承，如此组织教学有效地践行了新课程的理念，同时也是对自己教学主张的具体化阐释。

（本文系山东省教学研究课题：全息教学论下的跨越式教学（课题编号：pt-20120126）的终结性成果）（作者单位：山东省滨州市北镇中学初中部）■

□责任编辑 周瑜芽

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