二次函数概念教学中要重视“变化和对应”思想的渗透*

●吴增生 (仙居县教育局教研室 浙江仙居 317300)



二次函数概念教学中要重视“变化和对应”思想的渗透*

●吴增生 (仙居县教育局教研室 浙江仙居 317300)

在初中函数内容中，模型的思想、变化和对应的思想、数形结合思想和分类讨论思想是核心的数学思想方法.与模型的思想、数形结合的思想和分类讨论思想在具体函数内容学习中存在不同，变化与对应的思想更隐性地蕴含在函数内容的学习中.在各种具体函数模型概念的教学中，在引导学生归纳函数解析式的共同特征、抽象出各种函数概念的同时，渗透变化与对应的思想，不仅可以有效促进学生深化函数概念的理解，还可以发展学生用函数模型描述运动变化过程的能力，进一步体会函数是描述运动变化规律的重要数学模型.

1 教学现象：教师普遍忽视“变化与对应”思想

笔者最近以人教版课标教材“二次函数”为内容组织了一次教学比赛活动，5位教师上同一内容，其教学过程的共性如下：

1)5位教师都首先创设了各种具体情境回顾一次函数的概念及其研究内容、研究步骤和研究方法：有的通过章引言的教学引导学生提出要研究的问题并进行回顾；有的直接从函数定义开始复习；有的用具体问题为抓手引导学生回顾.通过回顾一次函数的研究内容、研究步骤和研究方法，引导学生通过类比提出二次函数的研究内容、研究步骤和研究方法：定义—图像、性质—应用.

2)5位教师都引导学生写出教科书中几个问题的函数解析式：引例(正方体的表面积y与棱长关系y=6x2).

问题2 产量在20 t基础上以相同增长率x增长2次后的产量为y,y=20x2+40x+20.

在此基础上，让学生归纳这些函数解析式的共同特点，概括出二次函数的概念：形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数，a≠0)的函数叫二次函数，其中a,b,c分别叫二次项系数、一次项系数和常数项.

练习 1.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.

2.如图1，矩形绿地的长、宽各增加xm，写出扩充后绿地的面积y与x的关系式.

图1

4)5位教师在小结中都重视了提出后继研究问题的活动，问学生对于二次函数需要进一步研究什么问题.与学生一起类比一次函数的研究经验，提出研究二次函数图像和性质的后续研究任务.

5)5位教师都采用了PPT进行教学，但都用文字形式展示教科书中的几个问题，没有展示或让学生想象教科书中3个问题的变化过程及考虑2个变量之间的对应关系，从而没有体会到解析式是定量刻画变化过程中变量之间对应关系的工具，而只是把二次函数概念形成过程的学习活动当成解析式共同特征的归纳活动.

2 教学结果：学生对“变化与对应思想”的体会不足

为了了解教师教学中忽视“变化与对应”思想渗透对学生“变化与对应”思想体会的影响，笔者进行了课后的小调查，调查问卷如下：

二次函数概念学习问卷调查

问题1 正方体的6个面是全等的正方形，其每条棱长为x,表面积为y.

1)你看出或想象到了这个正方体的变化了吗？请描述一下它怎样变化.

2)你认为这里的x和y是表示固定的量还是变化的量？

3)你得到的式子是______,这个式子反映了2个量之间的什么关系？

问题2n个球队参加比赛，每2个队之间进行一场比赛，比赛的总场次为m.

1)你看出或想象到了什么变化吗？请描述一下它怎样变化.

2)你认为这里的m和n是表示固定的量还是变化的量？

3)你得到的式子是______,这个式子反映了2个量之间的什么关系？

问题3 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后2年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，2年后这种产品的产量yt.

1)这个问题中，你看出或想象到了什么变化了吗？

2)你认为这里的x和y是表示固定的量还是变化的量？

3)你得到的函数解析式是______,这个式子反映了2个量之间的什么关系？

问题4 上面3个问题中的函数解析式有什么共同特征？

在所教的5个班级中每班随机抽取10名学生，共50名学生进行调查，收回48份调查问卷，去除其中2份空白，得到有效问卷46份，其结果如表1所示：

表1 调查问卷结果

由表1可知教师重视了求函数解析式的教学以及函数解析式共同特征归纳的教学，忽视变化与对应思想的渗透，导致学生写函数解析式能力的有效发展和变化与对应思想体会不足.

3 改进建议：让学生在观察和想象变化过程及其变量的对应关系的基础上抽象概念

3.1 动态展示变化过程，引导学生发现问题和提出问题

问题1 如图2(几何画版动态展示变化过程)，变化的矩形OABC的周长为12，边OA的长为x，边AB的长为y，当矩形变化时，y是x的函数吗？函数解析式是什么？是什么函数？

图2 图3

师生活动 学生回答，y是x的函数,解析式是y=6-x，y是x的一次函数.

设计意图 以此变化过程为载体，引出并复习一次函数.

追问1 对于一次函数，我们比较熟悉，想一想，在一次函数学习中，研究了什么？分哪些步骤研究？用什么方法研究？

师生活动 教师引导学生回顾一次函数的研究内容、研究步骤和研究方法(如表2)：

表2 一次函数的研究内容、研究步骤和研究方法

设计意图 回顾一次函数的研究过程，作为研究二次函数的类比原型.

问题2 (几何画板动态展示变化过程)在问题1中，当矩形变化时，它的面积是否也变化？写出面积S与x之间的函数解析式，它是我们学习过的一次函数吗？

师生活动 学生通过观察得到函数解析式S=x(6-x)=-x2+6x后发现不是已经学习过的一次函数，再让学生观察如图3的动画，通过测量x的值和S的值，观察矩形变化过程中x的值及S的值的变化，发现随着x的增加，S的值先增加再减小，这与“一次函数(y=kx+b)，当k的正负确定后，函数的增减性不变”是不同的.因此，这是一类变化规律与一次函数不同的新函数.在此基础上，教师引导学生给这个函数命名为“二次函数”.教师进一步引导：这样的新函数在现实中还有很多，如改变正方体的棱长x，其表面积y随之变化；从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h随小球运动时间t的变化而变化；从喷头中喷出的水珠，在空中走过一条曲线，水珠的竖直高度y与它距离喷头的水平距离x之间的关系，等等.因此从本节课开始，学习新一类的函数——二次函数.

设计意图 通过观察发现问题，通过类比一次函数提出问题.

追问1 类比一次函数的学习，你认为二次函数要研究什么？怎样研究？

师生活动 教师引导学生类比一次函数的学习，提出二次函数的研究方案(如表3)：

表3 二次函数的研究方案

追问2 我们首先要讨论什么？

师生活动:让学生明确：先研究二次函数的定义.

2.2 引导学生想象变化过程，列出变化过程的函数解析式

教师引导学生观察典型的变化过程，并用函数解析式表示.

问题2 请分析下列变化过程，并用函数解析式表示.

1)正方体的6个面是全等的正方形，每条棱长为x，表面积为y，y随x的变化而变化；

2)n支球队参加比赛，每2个队之间进行1场比赛，比赛总场数m随着n的变化而变化；

3)某商场销售一种商品，调查表明，当销售单价定为10元/kg时，每天可销售600 kg,若单价每提高1元/kg，则每天销售量减少20 kg.假设该商场把该种商品的单价提高x元后，每天的销售收入为y元，y随着x的变化而变化.

师生活动 先让学生想象这3个变化过程，再让学生写出函数解析式，最后让学生说说自己对变化过程的理解.

1)y随着x的变化而变化，当x的值确定时，y随之唯一确定，y=6x2;

3)y随着x的变化而变化，当x的值确定时，y随之唯一确定，y=-20x2+40x+6 000.

设计意图 让学生想象变化过程，列出函数解析式，为抽象二次函数的概念提供归纳样例.其中问题2中的第3)小题没有选用教材中的问题而另编，其目的是便于让学生体会二次函数的增减性.

2.3 引导学生通过归纳函数解析式的共同特征，抽象出二次函数的概念

师生活动 学生归纳其共同特点，发现这些函数解析式等号右边都是整式，且最高次数都是2.

追问3 你能类比一元二次方程，给出二次函数的一般形式吗？

师生活动 教师引导学生给出二次函数的定义，并指出一般式y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数，a≠0)中的二次项系数、一次项系数和常数项.

2.4 引导学生依据概念判断实际问题中的函数模型是否为二次函数

基础练习：问题4 下列2个变化过程中的一个变量是另一个变量的二次函数吗？

图4 图5

1)一个圆柱的高等于它的底面半径，表面积S随着底面半径r的变化而变化；

2)如图4，矩形绿地的长、宽各增加xm，扩充后绿地的面积y随着x的变化而变化.

3)正方体的棱长为x，体积为V，V随着x的变化而变化；

4)直角三角形的斜边长为8，一条直角边长为m，另一条直角边长为n，n随着m的变化而变化.

师生活动 学生独立思考，教师组织讨论交流.

设计意图 引导学生运用概念进行判断，巩固概念.

问题5 如图5，现有一面墙的长度AB=12 m，要用总长为16 m的围栏一面靠墙围一个矩形鸡舍，其中矩形鸡舍的一边长为x，面积为y.

1)求y与x之间的函数解析式，并判断这个函数是否为二次函数；

2)写出这个函数的自变量x的取值范围；

3)分别求当x的值为2,4,6,8,10时的函数值，说说随着x的增大，y是怎样变化的？

师生活动 学生独立完成后，教师组织讨论交流.

设计意图 通过用二次函数模型描述变化过程，让学生初步感受这种函数的变化规律，深化对二次函数概念的理解.

概念是判断和推理的依据，一个具体的函数关系是否为二次函数，是要通过函数解析式来判断的(解析式是整式，其中自变量的最高次数为2)，而且在研究过程中，“判断其变化模式是否为函数关系，进而判断是否为二次函数”是解决问题的基础.因此，在教学中应该重视这种应用概念进行判断的训练.在教学实践中，很多教师喜欢给出函数解析式，让学生判断是否为二次函数，由于其没有了变化的背景，就变成纯形式的判断，这种判断没有现实性，而且有的教师把这种形式化的判断要求随意拔高，如设计了如下问题“当m为何值时，关于x的函数y=xm2-2+mx是二次函数？一次函数？”，这显然是不合适的.二次函数是描述性概念，其核心作用是判断具体变化过程中的函数关系是否为二次函数，是否可以用二次函数的相关知识解决问题.由于在实际问题的变化过程中判断函数是否为二次函数需要根据解析式来进行或根据图像来进行，根据解析式判断一个函数是否为二次函数的训练已经蕴含在现实问题中函数关系是否为二次函数的判断训练中，因此没有必要单独进行直接根据函数解析式判断是否为二次函数的这种人为造作的训练.

实际问题包含着运动变化的背景，让学生想象其运动变化过程，用函数解析式分析变化过程中的变量对应关系，能更充分地渗透变化与对应思想.

变化和对应是函数的本质属性，在函数的具体内容教学中，模型思想、数形结合思想、分类讨论思想显性地存在于某些具体内容中，教师容易发现，也容易引起重视；变化与对应的思想，则是隐含在函数内容的学习内容中，容易被忽视，这就需要教师在函数教学中引导学生用变化的眼光看问题，用变量的对应关系分析变化过程，在各种具体函数模型的概念学习、图像性质研究、应用函数解决问题等过程中渗透变化与对应思想，让学生深刻理解函数的概念，充分体会函数是描述运动变化规律的重要数学模型.

全国教育科学“十一五”规划2010年教育部重点课题：中小学数学课程核心内容及其教学的研究(GOA107010)；浙江省2014年教育科学规划课题：基于脑、适于脑和发展脑的数学教学实践研究(2014SC295).

吴增生，浙江仙居人，浙江省特级教师，浙江省基础教育课程改革专家指导组成员，教育部第三批国培专家，人民教育出版社教材社外作者、培训专家、教师教学用书主编，台州市名师工作室领衔人，浙江省名师网络工作室领衔人，有70多篇文章在《数学教育学报》、《数学通报》、《中学数学教学参考》、《中国数学教育》、《中学教研(数学)》等刊物发表，其中有20篇被中国人民大学复印资料中心全文转载.主要研究方向：基于数学和心理学结合的中学数学教育研究.