锦囊妙计 成竹在胸

范洪雷

对于分式求值的问题，一般都是先化简后代入，但有一些求值题，特别是隐含条件的求值题，用这种办法非常麻烦，或者根本做不出来，这时需用整体代入或者将所给条件恒等变形等方法，使问题得以解决.

1. 整体代入法

例1 已知：+=4，则=______.

【妙解】由已知条件，得a+b=4ab.

====1.

【点评】分式化简求值中经常运用整体代换思想——整体代换是指在解决某些问题时，把一些组合式子看作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难. 有些问题，从表面上看需要局部求出各有关量，但实质上，若从整体上把握这些量之间的关系，则思路更为明朗，解法更为巧妙.

2. 倒数法

例2 已知=，求÷

-x-2的值.

【妙解】因为=，

所以=++1，

所以1-=++1，

所以-=+.

又因为÷

-x-2=÷

-=÷=·=.

所以原式=

-=（+）=.

【点评】此题运用的方法主要是倒数法.

3. 参数求值法

例3 已知==，abc≠0，则=_______.

【妙解】令===k（k≠0），

则a=2k，b=3k，c=4k，所以

=

=

==.

【点评】当已知条件形如==（xyz≠0），所要求的分式是一个含x，y，z，a，b，c而又不易化简的分式时，通常设===k（k≠0），然后将其变形为x=ka，y=kb，z=kc，代入所求分式，从而得解，这种解题方法叫参数求值法.

4. 递进相加法

例4 化简+++.

【妙解】原式=+++

=++

=+=.

【点评】本题如果直接通分计算太复杂，观察发现：前两个分式的分母之积可运用平方差公式且分子相同，所以可先将前两个分式通分，发现计算所得分式的分母与第三个分式的分母又符合平方差公式，因而依次类推可解此题.

5. 裂项相消法

例5 计算：+++…+.

【妙解】原式=-+-+-…-+=-+=.

【点评】由于=-+，=-+，…，所以考虑用裂项相消法解本题.

（作者单位：江苏省淮安外国语学校）