何炎高, 徐定华, 陈瑞林
(1. 浙江省服装工程技术中心(浙江理工大学), 浙江 杭州 310018; 2. 浙江理工大学 理学院, 浙江 杭州 310018)
纺织材料设计反问题的贝叶斯统计推断方法
何炎高1,2, 徐定华1,2, 陈瑞林1,2
(1. 浙江省服装工程技术中心(浙江理工大学), 浙江 杭州 310018; 2. 浙江理工大学 理学院, 浙江 杭州 310018)
针对具有不适定性纺织材料设计反问题,给出了利用贝叶斯蒙特卡洛方法求解纺织材料单参数和多参数反演问题的一种新方法。因织物稳态热湿传递模型的非线性和反问题的不适定性,基于贝叶斯统计推断方法的纺织材料类型、厚度、孔隙率等参数的后验概率分布推断是一种有效的方法。这种方法将参数的先验信息描述为先验概率密度,构建了纺织材料设计反问题的数值算法。数值实验结果表明,与马尔科夫链蒙特卡洛抽样算法相匹配的贝叶斯推理可用来求解纺织材料设计反问题。
纺织材料; 设计; 反问题; 贝叶斯推断; 单参数; 多参数
随着人民生活质量的改善和科技水平的提高,纺织材料的功能和应用领域也不断增多,纺织服装的热湿舒适性要求也日益受到关注,因此,基于人体舒适性要求的纺织材料设计具有重要的现实意义。一般地说,在人体-服装-环境系统中,基于织物的热湿传递模型,根据热湿传递方程和初边值条件,给定织物的物理参数和结构参数,从而计算人体与织物间微气候区的温度或湿度,该问题被称为正问题(DP: direct problems)。根据服装的热湿舒适性要求来决定纺织材料的物理参数或结构参数,该问题被称为反问题(IP: inverse problems)。通常由于测量数据有限且带有一定的误差,使得反问题具有不适定性,因而在求解时存在较大的困难,针对其不适定性问题,常见的反演方法有正则化方法, 此时往往转化为最优化问题进行参数估计,如 Hooke-Jevees模式搜索算法[1]、0.618法、或粒子群算法[2]来求解。近期建立在统计学基础上的贝叶斯推理在污染源识别反问题[4]、热传导反问题[5]、热辐射源估计[6]、热参数的估计[7]等研究中发挥了重要的作用并可较好地对反问题进行求解。
目前,纺织材料设计反问题研究尚处于初步阶段,本文针对织物稳态热湿传递反问题建立了贝叶斯推理的反演算法,采用马尔科夫链蒙特卡洛抽样的方法对后验状态空间进行抽样并获得了纺织材料参数的后验概率分布规律及进行相应的估计,可为纺织材料产品设计或实际生产提供理论参考和实践指导。
在如图1所示的人体-服装-环境系统示意图中,考虑其平行圆柱孔的单层织物的稳态热湿传递模型[8-9]为
(1)
其初边值条件为
(2)
式中:k1和k2均为与水分子质量和气体常数相关的常数;ε(x)为纺织品表面孔隙率,%;r(x)为纤维孔半径,m;τ(x)为纤维孔的曲折系数;pv(x)为水蒸气压力,Pa;T(x)为织物温度,K;mv(x)为水蒸气质量通量,kg/(m2·s);Γ(x)为水蒸气凝结率,kg/(m3·s);λ为水蒸气吸收凝结热,J/kg;κ为织物的热传导系,W/(m·K);T(0)为织物内侧温度;T(L)为织物外侧温度;mv(0)为织物内侧水蒸气质量通量;pv(0)为织物内侧水蒸气压力。
图1 人体-服装-环境系统示意图Fig.1 Schematic diagram of body-clothing- environment system
饱和水蒸气压力的经验公式为
求解上述带有初边值条件的耦合常微分方程组称为正问题(DP),由Banach不动点定理可以证明其解的存在性和唯一性[9]。
服装舒适性是纺织材料为满足人体生理需要所必备的性能,也是纺织材料设计的核心要求。一般认为人体皮肤与服装内侧间的微气候区内温度(32±1)℃、湿度(50±10)%、气流(25±15)cm/s为标准服装气候,即为热湿舒适性指标[9]。因此,在一定温度和湿度的环境下,根据服装的热湿舒适性要求,决定织物的物理参数(如热传导系数κ)和结构参数(如厚度L、孔隙率ε)称为纺织材料设计反问题(inverse problem of textile material design,IPTMD)。
单参数的决定:给定环境的温度和湿度,根据服装的热湿舒适性指标,设计织物的热传导系数κ、厚度L或孔隙率ε,分别称为类型决定、厚度决定或孔隙率决定。
多参数的决定:给定环境的温度和湿度,根据服装的热湿舒适性指标,设计织物的热传导系数κ、厚度L、孔隙率ε中2个或全部参数。
2.1 正问题DP的数值解法
将微分方程组模型(1)与(2)解耦[1]得
其中
用有限差分法离散得到以下差分方程:
当i=2,…,N-1时,
当i=N时,
已知T0、TN,通过插值得到T1、TN-1,这样通过以上差分方程可以计算TN-2,…,T2,由此得到
进而微气候区的相对湿度(RH)的表达式可表示为
(3)
2.2 反问题IPTMD的贝叶斯推断方法
贝叶斯推理的基础是贝叶斯定理,即
(4)
从式(4)可以看出参数的所有信息都包含在后验分布中,一旦知道了后验概率密度函数的分布规律,就可以利用点估计的办法,如最大后验估计(MAP):
后验均值估计:
同样也可以作区间估计。
通常情况下,测量数据的边缘概率密度函数π(y)在后验状态空间中可看成积分常数没有进行计算的必要,因而后验概率密度函数可以简单地表示为
(5)
一般地,织物参数θi(i=1,2…m;m为模型参数的个数)在一定的范围θi∈[ai,bi]内且满足均匀分布,先验概率密度函数可表示为
(6)
由于各参数之间具有相互独立性,则总的先验分布可表示为
(7)
测量误差一般可以认为是白噪声η,其每个分量误差均服从均值为零、标准差为σ的正态分布N(0,σ2),似然函数可表示为
(8)
式中n为测量数据的个数。
从理论上讲,利用式(5)即可求出后验概率密度函数,但往往由于参数维数较大或正演关系比较复杂难以得到明确的数学表达式,使得数值积分算法计算量呈指数增长,因而计算难度较大,为此,需采用特定的抽样方法实现对后验概率密度进行求解。
2.3 马尔科夫链蒙特卡洛法
马尔科夫链蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo,MCMC)法是一类算法的总称。从数学上讲,其思想是产生一个Markov链,以目标分布为平稳分布。根据Markov链理论,一个Markov链从任意初值出发,都会收敛到其平稳分布。MCMC就是用马尔科夫链的平稳分布,生成满足特定分布的随机数构造一个目标分布样本。
Metropolis算法[4]是一种重要的MCMC抽样算法,其算法可表述如下。
1)在模型参数先验范围内随机产生模型参数初始点θ(i),i=1;
式中π(θ*),π(θ(i))为目标概率密度函数。
3)产生一个0~1之间的随机数u;