泥沙起动研究的伊辛和重整化群方法探讨

汪富泉

（广东石油化工学院继续教育学院，广东茂名 525000）

泥沙起动研究的伊辛和重整化群方法探讨

汪富泉

（广东石油化工学院继续教育学院，广东茂名 525000）

为探讨泥沙起动的物理机制和临界概率，把泥沙起动作为一种临界现象，与连续相变进行类比，应用临界现象、连续相变和重整化群的原理和方法建立了泥沙成片起动的二维伊辛模型和二维重整化群模型及算法。通过综合分析得到泥沙成片起动的一个临界概率，其阈值约为0.42，该值与已有实验和观测结果基本接近。把泥沙运动力学和分形动力学相结合探讨了床面起动的物理机制。研究结果表明：床面整体起动和DLA（受限制的扩散凝聚）集团的分形生长有类似的物理机制，对阈值小于0.5就能引起床面整体起动给出了一个物理诠释。该新思想和新方法的引入对探讨推移质整体启动这类复杂现象是有所裨益的。

泥沙起动；相变；伊辛模型；重整化群；阈值；床面起动

2015，32（01）：6－10

1 研究背景

泥沙起动是颗粒由静止状态转移到运动状态的临界现象［1］，人们十分重视起动的条件、流速、概率及判别标准等方面的研究［2－6］。水下推移质体系是一个复杂的多体问题，它包含大量不同尺度、不同形状的泥沙颗粒，同时涉及到水流和泥沙之间以及泥沙颗粒之间复杂的相互作用。如：水流对颗粒的拖曳、上举作用，薄膜水附加压力和颗粒重力抗拒水流拖曳力的作用，颗粒之间由于隐爆效应、黏结力、离散力产生的相互作用等。这些作用既受制于确定性的力学规律，又受到随机因素的影响［2－6］。这说明单纯动力学方法或统计方法都不能很好地刻画推移质运动，因此迄今尚未完全阐明问题的物理实质。

力学是描述少量粒子运动规律和相互作用的科学［7］，对床面层内由大量泥沙颗粒组成的宏观系统显得无能为力。泥沙起动作为一种临界现象，与统计物理中的相变问题密切相关，它是对微观的、力学的运动“平均”的结果，只需要引入少数几个宏观变量来描述和处理这样的系统。因此热力学和统计物理方法可能是行之有效的，但这方面的研究迄今尚未见到，本文将对此进行初步尝试，把泥沙起动和相变进行类比，然后建立伊辛模型和重整化群算法来探讨泥沙普遍起动的概率阈值。

2 泥沙起动与相变的类比

相变是自然界中的一种普遍现象。研究表明［7］，虽然相变的具体机制多种多样，起因和表现错综复杂，但是各种相关变量的相似之处远远超出它们之间的差异。在相变临界点附近，各种物理量的奇异性彼此十分相似。相变分为1至K级，K级相变指热力学势及其K－1阶以内导数连续，K阶导数不连续的相变。2阶以上的相变通称为连续相变或临界现象。连续相变没有体积变化或热量吸收，但有序程度和与之伴随的对称性质发生变化。物理参数的无穷小变化引起对称破缺是连续相变的本质。把泥沙起动与连续相变进行类比，有可能透过推移质运动千差万别的个性（如颗粒级配、床面几何结构、平均流速、拖拽力等），抓住最普遍最本质的规律。单颗泥沙静止与运动状态之间的转变无疑是一种相变，但是我们更感兴趣的是整个床面形态的变化，即泥沙大量起动或普遍泥沙运动问题。首先我们论证，泥沙普遍起动现象可视为连续相变。张小峰等［8］认为，起动流速与起动概率的关系是连续变化的，不存在突变的地方。从相变的角度分析，张小峰所说的起动颗粒百分数与起动流速之间不存在突变是指不存在1级相变。因为对1级相变，序参量在临界值处从0一下子跃变到非0有限值。事实上，张小峰等给出的颗粒起动概率与水流起动流速之间的关系曲线［8］与连续相变序参量随控制参数的变化相似［7］，另一方面，在普遍泥沙运动阶段，各种大小的泥沙均已投入运动，引起床面外形的急剧改变［9－10］。如果把起动流速和起动概率视为物理参数，这正好说明，物理参数的连续变化引起床面形态突变，这正是连续相变的物理本质。用uw表示近底水流速度，ub1表示推移质平均运动速度，当uw较小时，床面上仅有屈指可数的细颗粒泥沙在运动，可视整个床面颗粒的平均速度ub1＝0，因而从宏观上看整个床面处于静止且各向均匀；当uw增大时，运动颗粒数增多，微观运动速度的均值不为0。设M＝ub1≠0，这相当于中等大小以下的颗粒在运动和静止中作了选择，运动颗粒已无法计数，床面局部形态因有些区域在运动，有些仍处于静止，使各个小区域可以区别，因而出现了宏观非均匀和有序。在一定范围内，M的大小可以表示有序的程度，可称为序参量。当uw进一步增大至某个临界值uwc时，各种大小的沙粒均投入运动，床面形态急剧变化。可见当uw→uwc时序参量连续地从0变到非0有限值。此外，M正比于起动颗粒百分数，在远离临界值时，运动颗粒数增加缓慢，在uw即将到达临界流速uwc时，运动颗粒数突然增多，但关系曲线仍是连续的。

与相变问题一样，推移质运动也涉及3个不同尺度：①反映颗粒结构的常数即平均粒径¯d；②反映颗粒之间相互作用的关联长度ξ；③反映无标度性的尺度r。根据卡丹罗夫标度理论，在体系接近临界点时，具有近似的标度不变性，可用r来反映理论描述的细致程度。当体系靠近临界点时，¯d﹤﹤r﹤﹤ξ，因为¯d﹤﹤r，可以把微观尺度上的运动平均掉，作一种中观描述。到了临界点，¯d﹤﹤r﹤﹤∞，理论上r有无限的变化范围，这相当于整个床面上的泥沙颗粒全部投入运动，小范围内的运动和更大范围内的运动具有相似的特征，因此可通过标度变换求出体系的普适性质。

运动颗粒增多到什么程度可以引起相变？起动概率的标准如何确定？下节将运用模型和算法来探讨其阈值。

3 模型和算法的阈值分析

伊辛模型是为描述各向异性很强的磁性晶体而引入的，它能很好地描述体系的各向异性。研究发现［7］，它的意义远远超过了铁磁相变，是一大类相变现象的代表，能揭示临界现象的许多共同本质。泥沙运动的具体细节虽然很复杂，但它作为一种临界现象必然遵循其普适规律。作为一种初步尝试，下面将运用伊辛方法来建立描述泥沙起动这一临界现象的统计模型。

首先建立一个正方形点阵模型。考虑矩形河槽，设河宽为B，取其长为B的一段得到一个正方形，将正方形分为N个小正方形，每个小正方形内有一颗泥沙。水流推移力和上举力之合力构成的力矩记为M1，它是沙粒的起动力矩；颗粒的有效重力和沙粒之间的黏结力之合力构成的力矩M2是抗拒起动的力矩。当M1≥M2时，沙粒起动，否则将静止。任一颗粒只有运动和静止2种微观状态，分别赋以值1和－1，则每个沙粒的状态集为σi＝｛1，－1｝。N个沙粒的一个微观状态记为

因颗粒在床面上排列的位置是随机的，所以每个沙粒都可取2种状态，共有2N种状态。水流的脉动，瞬间作用力（推移力和上举力）具有随机性，颗粒间的相互位置、颗粒大小、形状、分选、方位等差异，使各个颗粒的起动力矩也是随机的并反映在起动颗粒的作用力臂上。颗粒之间具有相互作用，如黏合力、隐爆效应［2］等。从一颗泥沙的起动对另一颗泥沙是否起动的影响来看，可以只考虑最近邻颗粒间的相互作用。假如2个颗粒之间相互作用的强度为±J，若一个颗粒受另一颗粒的隐蔽作用，使得一颗粒阻碍另一颗粒的起动，那么就2个颗粒运动的平均效应而言，起动将被削弱，其作用强度记为－J；反之，若一颗粒有助于另一颗粒的起动，使总效应增强，作用强度记为J。因床面泥沙颗粒处于一外场（水流）之中，因此J可以和能量联系起来。颗粒的相互作用增大起动难度时，将增加水流的能量消耗；反之将减小水流能量消耗。由统计物理学知，σ分配的能谱为

式中（ij）表示对一切最近邻求和。上式的配分函数为

式中：U表示水流近底流速；C表示单位流速提供的能量，取作常数。根据推移质运动的特性，对相同的U，J值越大，起动概率P也越大。即在相同的流速下，颗粒最近邻间的相互作用越有利于泥沙启动或者说颗粒获得的起动能量越大，起动概率或启动颗粒百分数也越大，又根据概率分布函数的性质，可假设位于某个方形格点上的泥沙颗粒起动并跨一步到相邻格点的概率分布函数为

显然P具有概率分布函数的所有性质并与泥沙起动的实际情况基本吻合。根据相变理论［7］计算知，P＝th（J/CU）的临界概率Pc＝－1≈0.414 2。这里的相变指的是床面形态的突变。也就是说，当起动概率P接近0.41时，床面颗粒已普遍投入运动，形态已发生突变。

为进一步探讨起动概率阈值，下面运用重整化群方法来计算相变的临界点。威尔逊创立的重整化群方法是研究临界现象行之有效的方法［11］，所求出的各种临界指数与实验结果相符。对前述正方形点阵进行集团（元胞）归并。把标度扩大2倍，即把相邻4个小正方形格子（对应4颗泥沙）归并为一个较大的正方形格子（视为1颗泥沙），这样可用1颗泥沙的运动来代表相邻4颗泥沙的平均运动。根据问题的物理性质，小集团与大集团之间的关系采取少数服从多数的原则：如果相邻4颗泥沙中有3颗以上起动，归并后的集团亦视为起动。4颗都起动时只有一种微观状态；4颗中有3颗起动时有C43＝4种状态。对2颗泥沙起动的情况，共有C42＝6种微观状态。因颗粒动静参半，应分别对待。根据水流运动特性、颗粒隐爆效应、粒间相互作用和起动颗粒的位置情况，可以假设沿河宽方向和对角线方向的2颗泥沙（共4种状态）起动时易引起其它颗粒相继起动。相应组态归并后的集团也视为起动集团。当4个颗粒中只有1个颗粒起动时，则把归并后的集团视为静止集团。然后按照上述原则重复此过程，把集团逐级归并到更大集团直至整个体系。泥沙起动是一种随机现象，假设单颗泥沙的起动概率为P，静止的概率为1－P，集团起动的概率为P′，从而得到重整化方程为

式中T2是非线性重整化算子，设T2的不动点为P*，由不动点存在定理［11］，有

解方程（6）得

因P表示概率，所以应去掉不动点P*2。经计算得

泥沙起动发生在床面层内，该层厚度约为泥沙平均粒径的2～3倍。相对于河宽，这个数值是相当小的。因此，在不考虑床面层厚度的情况下，可把泥沙起动视为二维点阵模型上粒子的随机行走建立伊辛模型，运用重整化群方法求出床面颗粒大量起动的临界概率（阈值），两者十分接近。经过上述综合分析，我们认为可以把0.42作为床面泥沙颗粒普遍起动的临界概率。

最后对三维情况进行初步探讨。如果考虑床面层厚度，推移运动则为三维点阵上的随机行走，按照伊辛模型的方法估计相变临界概率约为0.22。如果用三维点阵上的重整化群方法来建立模型，考虑均匀球形沙粒在立方体内的堆砌，临界概率与堆砌方式有关。假设按“面心立方堆砌”，在立方体的8个顶点和6个面的中心各放1个沙粒，这样每个沙粒都和12个最近邻相关。对推移质运动而言，下面的两层虽然可按层移方式运动，但是，就起动来说，只有当上面的一层颗粒它移之后，下层的颗粒才能起动。因此，首先考虑的还是最上面一层的起动问题。按少数服从多数的原则，只要上面一层的4个颗粒中有3个以上颗粒起动，就可能带来床面层的成片起动。由于总颗粒数为14，所以我们猜测临界概率Pc≥3/14≈0.214 3，与三维伊辛模型的临界值相近，他们之间的联系有待进一步探讨。

4 床面整体起动的物理机制

从上节分析知，泥沙大量起动的临界概率值小于0.5。在此低概率下为什么能导致普遍的泥沙运动呢？本节将探讨其物理机制。根据钱宁等［9］对颗粒受力情况和方位的分析，假设床面上N个颗粒中有R个颗粒易于运动，将其标记为A类，W个颗粒在相邻颗粒未它移之前根本不能运动，将其标记为B类。则

若W＝0，则ζ＝1，即所有颗粒均处于起动状态，床面将整体起动；若R＝W，则ζ＝0，AB配对在整个床面上处处一样，分不出顺序。要形成序，只能靠颗粒间的相互作用。设AA，BB，AB之间的相互作用分别为VAA，VBB，VAB，有

床面上将出现A类沙粒作近邻的倾向，在相同的水力条件下，这种排列比其它情况更易引起整体起动。ζ相当于颗粒在相互作用下自发趋向于A状态的强度。当ζ从0趋向于非0值时，床面从均匀无序的宏观状态趋于一种宏观有序态。把水流近底流速uw作为水下泥沙系统的一个控制参数，根据临界现象的普适性［7］有

式中β＞0，称为临界指数。用P＝R/N表示易起动颗粒占总颗粒的百分数，则P和床面起动概率之间存在一定关系。若P＝0（R＝0）或P很小，床面无泥沙运动或只有轻微的泥沙运动，床面起动概率为0；若P＝1（W＝0），所有颗粒均起动，床面起动概率为1。除这2种极端情形外，A类颗粒无规地混杂在B类颗粒之中。这样，每个P值都对应一定的床面起动概率，在Pc附近有幂律关系

可见当P接近临界值Pc时，床面起动概率迅速上升且接近和达到1。

任意指定一个起动颗粒，以该颗粒为中心，考察和它相连的起动颗粒组成的集团。由于颗粒间的隐蔽效应，该集团的形状类似于分形生长的DLA［10］（受限制的扩散凝聚）集团，集团的平均尺寸记为ξ（P），它是起动概率P的函数。当P很小时，ξ（P）也很小；当P接近Pc时，ξ（P）迅速上升。在临界点Pc附近

为计算v的值，把重整化群方程（5）在临界点Pc＝0.42附近作泰勒展开有

变换前后关联长度之比可表为

对式（12）和式（13）两边取对数得

由式（10）、式（11）知，起动概率和关联长度ξ（P）在临界点附近发散，它表明，当泥沙达到起动临界条件时，起动概率和关联长度都反常地增大。因此，部分颗粒的起动将迅速带动其他颗粒的起动，使床面出现泥沙成片起动的宏观运动形态。

5 结 语

本文的探讨表明，推移质起动这类临界现象在本质上和连续相变有相似之处，可以应用连续相变的理论和模型探讨推移质整体起动的物理机制，同时可以应用重整化群的思想和方法建立二维、三维重整化群模型和算法探讨床面整体起动的临界概率。这些新思想和新方法的引入对探讨推移质整体启动这类复杂现象是有所裨益的。

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（编辑：姜小兰）

Approaches of Ising and Renormalization Group to Study the Incipient M otion of Sediment

WANG Fu-quan
（School of Continuing Education，Guangdong University of Petrochemical Technology，Maoming 525000，China）

In the aim of exploring the physicalmechanisms and critical probability of sediment’s incipientmotion，the incipientmotion is regarded as a critical phenomenon and is compared with continuous phase transition.Two-dimensional Isingmodel and renormalization group model as well as algorithm of sediment are established based on the principle andmethod of critical phenomena，continuous phase transition and renormalization group.By comprehensive analysis，a critical probability of sediment’s incipientmotion is obtained（the threshold is about 0.42）which is approximate with the results of experiments and observations.In association with sedimentmovementmechanics and fractal dynamics，the physicalmechanism of bed surface starting is discussed.The results show that the integral incipientmotion of bed surface have similar physicalmechanism with fractal growth DLA group.It gives a physical interpretation to the integral incipientmotion of bed surface with a threshold less than 0.5.

incipientmotion of sediment；phase transition；Isingmodel；renormalization group；threshold；incipientmotion of bed surface

P341

A

1001－5485（2015）01－0006－05

10.3969/j.issn.1001－5485.2015.01.002

2013－09－09；

2013－11－16

国家自然科学基金项目（51179110）；国家重点基础研究发展计划（2013CB036401）

汪富泉（1955－），男，四川南充人，教授，博士，主要从事水文学及河流动力学研究，（电话）0668－2290223（电子信箱）WM2981138＠163.com。