吕旭川
摘 要:二次函数是初等函数中的重要函数,历来是中考的重点知识,是中考的重点内容,题型主要有选择题、填空题及解答题,而且常与方程、不等式等结合在一起综合考查。
关键词:二次函数;二次不等式;一元二次方程;关系
中图分类号:G632 文献标识码:B 文章编号:1002-7661(2015)08-117-01
二次函数是初等函数中的重要函数,历来是中考的重点知识,是中考的重点内容,题型主要有选择题、填空题及解答题,而且常与方程、不等式等结合在一起综合考查。下面,我们谈谈二次函数与二次不等式、一元二次方程的关系。
一、二次函数与二次不等式有如下的关系:
①、使得二次函数 的函数值 的自变量 的取值范围,即求 的解集;反之,求 的解集,即求二次函数 的函数值 的自变量 的取值范围。(此处常用图解法求一元二次不等式的解集)
②用图像法求一元二次不等式
的解集步骤:
、设:设 ,则求 ,即求二次函数 的函数值 的自变量 的取值范围。
、作:根据五点作图法,作出一次函数 的图像。
、解:根据直角坐标系特点, 轴上方, 恒成立;反之, 轴下方, 恒成立,故求 ,即看图像在 轴下方部分时, 的取值范围即可。
例1:已知y=x2-2x-3,当y<0时,自变量x的取值范围是______________.
分析:因为二次函数与x轴两个交点坐标分别是 , ,有图像可知,当 时,自变量x的取值范围是
解:根据五点作图法,作出二次函数y=x2-2x-3的图像
根据直角坐标系特点, 轴下方, 恒成立,故求 ,即看图像在 轴下方部分时, 的取值范围即可。所以自变量x的取值范围是
二、二次函数与一元二次方程的关系
因为抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的根。所以
抛物线y=ax2 +bx+c,当y=0时,抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0
>0时,一元二次方程有两个不相等的实根,二次函数图像与x轴有两个交点;
=0时,一元二次方程有两个相等的实根,二次函数图像与x轴有一个交点;
<0时,一元二次方程有不等的实根,二次函数图像与x轴没有交点。
例2.若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且过点A(m,n),B(m+6,n),则n=
分析:本题主要考查抛物线与x轴的交点,二次函数的性质,一元二次方程根的判别式。
解: 抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,
当 时,y=0,且 ,即 ,
又 点A(m,n),B(m+6,n), 点A、B关于直线 对称;
,
将A点坐标代入抛物线解析式,得:
综上:(1)一元二次方程的知识是研究二次函数和一元二次不等式的基础知识。(2)令二次函数y=ax?+bx+c的y=0,则原式变为一元二次方程ax?+bx+c=0,令一元二次不等式ax?+bx+c>0的不等号变为等号,则原式变为一元二次方程ax?+bx+c=0。(3)二次函数y=ax?+bx+c抛物线与x轴的两交点的横坐标x1、x2(x10 解集是:x