探析一道高考数学题的背景与教学启示

●张金良 (浙江省教育厅教研室 浙江杭州 310012)

探析一道高考数学题的背景与教学启示

●张金良 (浙江省教育厅教研室 浙江杭州 310012)

纵观2015年全国各地的数学高考卷，其中湖北省的数学卷十分抢眼:试题依托数学史料，镶嵌入数学名题，引人瞩目，出自《九章算术》中的阳马、鳖臑令考生广为热议，试卷中的压轴题内涵丰富、背景深刻，难倒了许多考生，从而吸引了众多师生去研究，也深深地吸引了笔者.为了帮助广大师生弄清楚试题的背景，看清试题的本质，现撰文介绍，以供参考.

1 背景解读与解答

题目 已知数列{an}的各项均为正数，e为自然对数的底数.

1)求函数f(x)=1+x－ex的单调区间，并比较与e的大小;

本题是一道递进式综合题，前2个小题的设问为第3)小题作铺垫.第3)小题等价于:已知数列{an}的各项均为正数，证明

这是著名的有限项Carleman不等式:设an＞0，n∈N+，且收敛，则本题基于此编制而成，可见命题者的高等数学视野.迄今为止，Carleman不等式有了许多加强形式，大多数的研究集中于改进Carleman不等式的上界，改进下界的研究相对较少，其中结论较为优美且又贴近中学数学教学的有以下几个结论:

这些结论的证明有一定的难度，读者不妨查阅参考文献［4］.

现在回到湖北省高考题等价的有限项Carleman不等式，下面给出2种证明.

证法1通过待定系数法，构造一组实数去改变原式的结构，然后利用均值不等式与的有界性进行证明.

证法2 首先证明以下命题

即证.

k由于xk可视作与p无关，因此令p→∞，得

于是可得有限项Carleman不等式.

通过证明，不难发现只要令n→∞，就可得无限项Carleman不等式.

2 教学启示

以历史名题直接改造成高考试题在当前高考命题中并不多见，我们暂且不讨论其公平性，其教学的导向是鲜明的，启示也是深刻的.在当前的高中教学中，教师“教什么”比“怎么教”显得更为重要，教师若以教辅资料为依据，死做题目，则所教学生很难在高考中突破创新题，其结果是师生双方均精疲力尽，效果平平.

事实表明:高考复习时要转变观念开阔视野，不仅要关注常规题，而且要关注教材、关注数学史料，甚至是历史名题.教师培训除了在提升教师的理论素养、课堂教学艺术等方面下功夫外，还应该在学科底蕴的厚实上下功夫，使教师有足够的功力看透题目的背景，教学时能站到一定的高度俯视数学，以达到轻负高质之效果.

［1］ 陈超平，祁锋.关于Carleman不等式进一步加强［J］.大学数学，2005(4):89-90.

［2］ 张小明，褚玉明.解析不等式新论［M］.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社，2009.

［3］ 钱伟茂，郑宁国.有限项Carleman不等式的加强［J］.北京联合大学学报:自然科学版，2010，24(9): 62-67.

［4］ 金小萍.Carleman不等式的新加强［J］.浙江师范大学学报:自然科学版，2009，32(2):143-146.