合 理 过 渡 自 然 生 成——“对数的概念”之教学设计与思考

●崔志荣 (安丰中学 江苏东台 224221)

合 理 过 渡 自 然 生 成
——“对数的概念”之教学设计与思考

●崔志荣 (安丰中学 江苏东台 224221)

1 内容分析

“对数”作为高中数学的重点内容之一，有很强的现实意义，它在银行贷款利息、社会经济增长率、工程技术、天文学等方面的计算，都有广泛的应用.它的发明缩短了人们的计算时间，对人们研究科学、了解自然起了重大作用.

“对数的概念”是苏教版必修1第3章“对数函数”的第1课时，是继指数函数之后学习的一类新运算.让学生建立好对数的概念并深刻理解，是后续熟练掌握“对数的运算性质”的保障，是理解并灵活运用“对数函数的图像与性质”的前提.

2 教学分析

“对数的概念”的教学，重点是一个新概念的生成教学.教材上已经给出对数的概念，很多学生必然事先预习，形成定势思维，如何引导学生回归探究，而非生硬接受，是教学的一大难点.

本节课的教学目标是深刻理解对数的概念，如果概念的探究教学时间过长，那么会影响概念反馈理解的时间，学生就不能熟练得出一些简单对数的值.因此，合理设计探究问题，做到探究与反馈时间的平衡，是对数概念教学的又一个关注点.

基于以上2点分析，笔者对以往的教学过程进行了改进，重新设计教学的各个环节，并已在所教班级试教，自我感觉效果不错，故把本节课的教学过程、设计意图、教学反思等整理成文，供读者在教学中研讨.

3 教学过程

3.1 问题情境

题目 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的a倍.设该物质最初的质量为1，请写出这种物质的剩留量N随时间b的变化关系式［1］.

学生容易得出ab=N(其中a＞0).

设计意图 该问题与教材上的例题有所不同:一是帮学生设出相关未知数(物质的初质量、剩留量、时间)，目的是节约时间，让学生迅速列出关系式;二是将具体数值84%改为字母a，为的是过渡到下面教学设计的3个问题，即在a，b，N中，已知2个量求另一个量.

3.2 合理过渡，自然生成

问题1 在ab=N(其中a＞0)中，已知a，b，求N.

这个问题学生不难理解，若b为整数，则是乘方运算的理解;若b为分数，则是分数指数幂与根式的转换(在指数函数部分已经学习).

问题2 在ab=N(其中a＞0)中，已知b，N，求a.

师:谁能解决问题2?

生2:当b=0时不能这么做，要单独考虑，当b=0时，N=1，此时a＞0且a≠1.

师:很好!生1分析出问题2的处理方法，生2又指出其漏洞.需要提醒大家注意的是:如果没有条件a＞0，那么生1的方法还有点问题，比如x2=N.

生4:x2=N，即x是N的平方根，因为N＞0，N有互为相反数的2个平方根是N的算术平方根.

师:不错!不过，能不能换个角度理解?

(学生沉默约1分钟.)

生5:利用函数f(x)=x2的图像，方程的根是函数值为正数N时，自变量x的取值(教师在黑板上作图)，因此，只需考察函数f(x)=x2与直线y= N的交点的横坐标，显然2个函数有2个关于y轴对称的交点，把y轴右边的那个正解规定成

师:我觉得生5的解释有道理，对于方程实数根的研究，可以把方程转化为对应的函数，利用函数的图像研究方程的实数根，这是一种重要的数学思想方法——数形结合.由函数的图像可知，方程的解取决于正数N的值，数学家在表示这个正数解的时候，就用符号与正数N配合表示成一个新的实数.请大家再理解一下这个数(停顿).

师:另外，在指数的学习过程中，我们已经指出，对于ab=N，通常只研究当a＞0且a≠1时的情况，此时N＞0.接下来，请同学们思考问题3.

问题3 在ab=N(其中a＞0且a≠1)中，已知a，N，求b.

生6:可以用生5的函数方法处理.

师:请具体阐述.

生6:把b看成x，问题3即是解方程ax=N (其中a是大于0且不等于1的常数，N是大于0的常数)，该方程的根，即是指数函数y=ax与函数y=N交点的横坐标.

师:不错!同学们画图看看方程ax=N的根有什么特点?

生7:不管0＜a＜1还是a＞1，x总有唯一的解.

师:为什么?

生7:因为无论是0＜a＜1还是a＞1，指数函数y=ax都是单调函数，它的值域都是(0，+∞)，又N＞0，所以它与水平直线y=N有且只有1个交点.

教师投影函数图像(如图1与图2所示).

图1

图2

师:很好!方程ax=N确实存在唯一解，但这个解到底是多少呢?怎样把它表示出来呢?

生8:这个解应用实数a，N表示，但我不知道怎么表示.

(说明:有不少已预习的学生在下面议论表示方法，学生8没有预习，不预习的课堂教学效果也精彩［2］.)

师:先不谈怎么表示，为什么能用实数a，N表示?

生8:刚才已经分析:方程的解对应着函数交点的横坐标这个实数，当2个函数确定，交点的位置也就随之确定，比如若a=2，N=3，则解x就是指数函数y=2x与函数y=3交点的横坐标，x就必然与2，3相关.

师:有道理!怎样表示这个实数解呢?我们可以把这个解写成logaN，这就是我们本节课要研究的“对数”.

(接着是对数概念的描述、板书、理解，到此，总用时约20分钟.)

设计意图 问题1的提出，体现的是问题研究的全面性，也体现由易到难的研究过程;问题2的探讨，主要目的不是复习指数的运算、平方根的理解，关键是要得出一种处理方程问题的思想方法，要探讨平方根的表示过程，为问题3的思考作铺垫;问题3是我们最终的探究目的，要通过问题3建立对数的概念.3个问题过渡自然，既体现循序渐进的原则，又能让学生认识到问题的关联性，同时还增强了学生的探究信心.

3.3 交流反馈

交流1 教师要求每位学生独立写出5个对数，然后同桌间交流各自的认识.

交流2 教师选取3名学生代表，先从指数、对数的转换角度来汇报交流自己的认识，此外，学生还可从其他角度理解，不限制思维，教师加以点评.

交流3 教师提出问题，要求学生探究logaab与alogaN的值.首先是4人一组，交流讨论;然后由学生代表汇报探究成果.

这一过程用时约15分钟.

设计意图 对数的概念虽已建立，但由于学生刚刚接触，理解不深刻，而且不同的学生理解程度也不同，一些基本功不好的学生更要加强理解.交流1和交流2促进概念的理解提升，尤其对基础较弱的学生有帮助，交流3能调动学生的探究积极性，培养学生的分析能力.3个交流活动，思维具有发散性，让每位学生都有事可做，能起到“补差、推中、提优”的分层教学效果.

3.4 练习反馈

从教材、课外资料上选取与对数概念相关的典型练习题(难度不要大，有点小梯度)，学生先练习，教师再对典型的错误进行纠正、点评、总结归纳，这一过程约10分钟.

4 一点反思

问题，是驱动学生思维的源泉!在数学教学中，好的问题可以启发学生的思维，形成有效的数学探究活动.因此，所设计的问题要符合学生的实际，如果问题过大、过难，则会造成学生无从下手，教师启而不发;当然，问题过小、过碎，也不行.学生遵循教师的思路(必经之路)，最终达到目的，这样的引导，学生思维量小，失去“探究发现”的意义［3］.本节课中的问题2，学生虽懂，但要答出生5的方法，还是要经过一番思考才行，问题3学生虽有点陌生，但在问题2的铺垫与教师的启发下，学生能有效探究发现.

教学中每一个概念都应当从概念所处的系统出发，促进学生建立新旧概念之间的各种联系，实现概念网络的构建与扩展，使新的概念成为学生内部概念网络的一个有机组成部分.这样，数学概念教学不再是个别概念的教学，而是通过学生学习概念的各种活动，使学生获得概念域、概念网络，直至完成对概念系统的理解与掌握［4］.当学生在原有的理解基础上学习新概念时，他们就会逐步意识到各个数学问题之间的联系，他们的理解会更深刻且牢固［5］.本节课正是通过问题1，2，3，将幂的乘方、指数运算公式、平方根以及函数与方程等联系起来，逐步过渡到建立对数的概念，体现了概念之间的网络联系.

［1］ 单墫.苏教版普通高中课程标准实验教科书·数学(必修1)［M］.南京:江苏教育出版社，2012.

［2］ 魏本义.不预习的课堂教学效果也精彩［J］.中小学数学，2012(9):27-29.

［3］ 聂必凯，郑庭曜，孙伟，等.美国现代数学教育改革［M］.北京:人民教育出版社，2010.

［4］ 李善良.现代认知观点下的数学概念学习与教学［M］.南京:江苏教育出版社，2005.

［5］ 全美数学教师理事会.美国学校数学教育的原则和标准［M］.蔡金法，译.北京:人民教育出版社，2004.