定积分等式的证明方法探讨

邹莉

【摘要】本文对不同类型的定积分等式，通过若干典型例题来探讨定积分等式证明的常用方法和证明思路.

【关键词】换元法;分部积分法;构造辅助函数法;泰勒公式法

1.换元法

（1）由两端被积函数的中间变量确定变量代换，所证定积分等式两端积分限相同，被积函数或所含抽象函数相同，但其变量不同

例1 设f（x）连续，且常数a>0，证明：∫a1fx2+a2x2dxx=∫a1fx+a2xdxx.

证明 令u=x2， ∫a1fx2+a2x2dxx=∫a21fu+a2udu2u=12∫a1fu+a2uduu+∫a2afu+a2uduu.又令u=a2t，

则∫a2afu+a2uduu=∫1aft+a2tta2-a2t2dt=∫a1ft+a2tdtt=∫a1fu+a2uduu.

∴ ∫a1fx2+a2x2dxx=∫a1fu+a2uduu=∫a1fx+a2xdxx.

（2）两积分区间不同，且有包含关系

例2 设f（x）是区间-1，1上连续的偶函数，证明：∫2π0f（cosx）dx=4∫π20f（cosx）dx.

证明 ∫2π0f（cosx）dx=∫π20f（cosx）dx+∫ππ2f（cosx）dx+∫3π2πf（cosx）dx+∫2π3π2f（cosx）dx.

右端后三个积分限与右端第一个积分限比较易知，对它们分别作变量替换：

x-π2=t，x-π=t，x-3π2=t.

又∫2π0f（cosx）dx=∫π20f（cosx）dx+∫π20f（sint）dt+∫π20f（-cost）dt+∫π20f（-sint）dt=2∫π20f（cosx）dx+2∫π20f（sint）dt.

令t=π2-u，

∫π20f（sint）dt=∫0π2f[sin（π2-u）]du=∫π20f（cosx）dx，

即∫2π0f（cosx）dx=4∫π20f（cosx）dx.

2.分部积分法

当被积函数中含有f′（x）或变限积分时，通常采用分部积分法.

例3 若f（x）是连续函数，则∫x0∫u0f（t）dtdu=∫x0（x-u）f（u）du.

证明 ∫x0∫u0f（t）dtdu=u∫u0f（t）dtx0-∫x0uf（u）du=x∫x0f（t）dt-∫x0uf（u）du=x∫x0f（u）du-∫x0uf（u）du=∫x0（x-u）f（u）du.

3.构造辅助函数

适用于在积分限中至少存在一点ξ或x0，使等式成立，基本思路是利用介值定理或中值定理，根据问题需要构造辅助函数.

例4 设f（x），g（x）在a，b上连续，证明至少存在一个ξ∈（a，b），使得f（ξ）∫bξg（x）dx=g（ξ）∫ξaf（x）dx.

证明 令F（x）=∫xaf（t）dt∫bxg（t）dt，由于f（x），g（x）在a，b上连续，

则F（x）在a，b上连续，在（a，b）内可导，且F（a）=F（b）=0.由罗尔定理ξ∈（a，b），

使得F′（ξ）=0，即∫xaf（t）dt∫bxg（t）dt′x=ξ=0，

即f（ξ）∫bξg（x）dx-g（ξ）∫ξaf（x）dx=0.

∴f（ξ）∫bξg（x）dx=g（ξ）∫ξaf（x）dx.

【参考文献】

（1）毛纲源.高等数学解题方法技巧归纳.华中科技大学出版社，2013.

（2）同济大学数学教研室编.高等数学.第六版.北京：高等教育出版社，2007.

（3）孙清华，孙昊.高等数学疑难分析与解题方法[M].武汉：华中科技大学出版社，2009.

（4）王全迪，郭艾.高等数学教学辅导书[M].北京：高等教育出版社，2010.