不定积分与定积分换元积分法的比较

黄优良

摘要：换元法是积分学教学中的重要内容。本文通过对换元法在不定积分与定积分中的比较，阐述了不定积分与定积分换元的实质及其异同，为学生掌握不定积分与定积分的计算带来方便。

关键词：高等数学；积分学；换元法

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）08-0197-02

换元法是数学解题的一个重要方法，在科学研究中有着广泛的应用。在高等数学教学中，如何使学生准确掌握不定积分与定积分的换元法显得尤为重要，也是学生学好积分学的一项关键内容，为今后学习重积分、曲线积分及曲面积分等打下良好基础。也许有的人会说，已经学习了不定积分的换元法，就没有必要再去学习定积分的换元法了。这种说法当然是有失偏颇的。这要从两者的异同来分析。

一、相似之处──换元手法相似

不定积分与定积分作为积分学的基础，其重性是不言而寓的，它们有着许多相似甚至相同之处，特别是定积分通过牛顿—莱布尼兹公式，与不定积分建立了一定的联系。它们在求解过程摘要：换元法是积分学教学中的重要内容。本文通过对换元法在不定积分与定积分中的比较，阐述了不定积分与定积分换元的实质及其异同，为学生掌握不定积分与定积分的计算带来方便。

关键词：高等数学；积分学；换元法

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）08-0197-02中都要用到一个重要方法──换元积分法。不定積分与定积分的换元法都有两类：第一换元积分法与第二换元积分法。第一换元积分法又称为凑微分法，第二换元积分法也有人称之为变量置换法。在换元手法上，它们是相似的（甚至可以说是相同的）。不定积分的凑微分法：若f（u）du=F（u）+C（或F'（u）=f（u）），则有：fu（x）u'（x）dx=fu（x）du（x）=Fu（x）+C。（C为任意常数，下同）定积分的凑微分法与不定积分完全类似，不同之处是定积分在考虑积分上下限后得出的结果是积分值，而不定积分得出的结果是函数系。不定积分的第二换元积分法：为了求解不定积分f（x）dx，作换元：令x=φ（t），得到f（x）dx=f[φ（t）]φ'（t）dt，使得积分形式变得更为简单，从而得到不定积分的解。对于定积分，也同样可作变量代换，使得定积分计算起来变得简便。

例1：求不定积分dx.

解：令x=，则dx=-dt，于是

dx=-dt=-+

=-arcsint++C=-arcsin+C。

例2：计算定积分（a>0）.

解：令x=asint，则=acost，dx=acostdt

换元

当x=0时，t=0；当x=a时，t=换限

故：=dt=I，再换元：

t=-u，则dt=-du，换限：t=0时，u=；当t=时，u=0，I=（-du）=du=

dt，因此，得：2I=dt=，从而可得：=。不定积分与定积分常用的第二换元法有：倒数换元（如例1），三角换元（如例2），以及简单无理函数换元（比如例1中，还可直接令u=），三角函数换元（针对被积函数中含三角函数的积分），等等。尽管不定积分与定积分有着相似甚至相同的换元手法，但是我们也不能说，在用换元积分法计算定积分时可完全按不定积分的换元法“依此类推”，因为它们有着本质的区别。

二、不同之处

1.不定积分与定积分的含义、所求结果不同。一个函数的不定积分是指这个函数的原函数，不定积分的结果依然是函数，几何上表示平面上一系列平行曲线簇。而我们在引入定积分时，定积分几何上是在指定区间上曲边梯形面积的代数和。定积分计算所得的结果是一个数值。在定义方面，如果区间I上，可导函数

F（x）有：F'（x）=f（x），则称函数f（x）在区间I上存在不定积分，且f（x）dx=F（x）+C。而对于定积分，设函数f（x）在区间[a，b]上有界或分段有界，经过对区间[a，b]任意分割、近似、求和、取极限的步骤，当分割的细度趋于零时和式的极限总存在，则称函数f（x）在区间[a，b]上的定积分存在，并定义f（x）dx=f（ξ）Δx。由此可见，不定积分与定积分是有着本质区别的，这就决定了在用换元法求解时，它们必有不同之处。

2.换元法求解的过程存在不同，定积分换元的同时要换限。不定积分在换元求解时，最后还必须把中间变量换回成x，使得所求结果依然是x的函数，比如例1。而定积分换元求解时，则不必再将中间变量换回成x了，因为定积分的最终结果是数值，只要能把结果求出来即可。但是，定积分换元法要注意两个方面。一是定积分换元时，要“换元换限”，即换元的同时要变换积分上、下限。二是用于换元的函数应该是单调连续的。即：设函数f（x）在区间[a，b]上连续，函数x=φ（t）满足：（1）φ（α）=a，φ（β）=b，（2）φ（t）在

[α，β]（或[β，α]）上有连续导数，且φ'（t）≠0不变号，则f（x）dx=f[φ（t）]φ'（t）dt。这就是定积分的换元积分法。从中也可以看出，定积分换元法要比不定积分换元法简便一些。

总之，换元法是一类重要的数学方法，在不定积分与定积分的计算中，起着至关重要的作用，掌握这类方法，也为高等数学其他内容的学习打下良好的基础。

参考文献：

[1]同济大学数学教研室主编.高等数学（上册）[M].第四版.北京：高等教育出版社，1996：237-254，296-303.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，1991：244-308.