高考压轴题中恒成立问题的处理策略

房兵

【摘要】本文从恒成立一般思路方法入手，探讨恒成立问题的处理策略.

【关键词】参数分离;参数讨论;数形结合;策略

恒成立问题是高三数学复习中一类重要的题型，它涉及不等式、函数的单调性、最值等知识点，考查数形结合、分类讨论、转化与化归的思想，备受命题人的关注，由于解题方法多样，而且对于具体的题目采用的方法不一，给学生的解题造成了一定的困难，笔者就此题型转化的策略作一个探讨.

策略一：参数分离法，转化为最值问题

例1 （2011浙江理22）设函数

f（x）=（x-a）2lnx，a∈R.

（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a;

（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立.

分析 作为浙江理科的压轴题，它考查导数运算法则、导数运用、不等式等基础知识，同时考查推理论证能力与分类讨论等分析问题和解决问题的能力.我用参数讨论法处理第（2）问时，求导f′（x）=（x-a）2lnx+1-ax，发现学生的困难在于：（1）另一个零点x0求不出来，只能确定范围;（2）确定x0与a的大小关系时，要先用赋值法限制a的范围;（3）分析单调性确定可能在哪个点取最大值，f（x）max=max{f（x0），f（3e）}（4）解不等式f（x0）≤4e2

f（3e）≤4e2，学生在那样紧张的120分钟里，很难有一个良好的心态通过分类讨论解决此问题.仅有极少数优秀的学生能够有时间答对此题.若首先选用参数分离法，避免分类讨论，起到四两拨千斤的作用.

【过程】（Ⅰ）略.

（Ⅱ）解法1：当0

当1

x-2e2lnx≤a≤x+2elnx.（*）

令F（x）=x-2elnx，x∈（1，3e]，则F（x）是单调递增函数，∴F（x）max=F（3e）=3e-2eln3e.

令G（x）=x+2exlnx，x∈[1，3e]，

则G′（x）=1-exlnxlnx，令G′（x）=0，∴x=e.

当x∈（1，e）时，G′（x）<0，G（x）单调减;

当x∈（e，3e）时，G′（x）>0，G（x）单调增，

所以[G（x）]min=G（e）=3e.

∵x∈（1，3e]，恒有f（x）≤4e2成立

∴由（*）式得：x-2e2lnxmax≤a≤x+2elnxmin.

综上：实数a的取值范围是[3e-2eln3e，3e].

从高考解题得分的角度来看，这种化未知为已知，避繁就简的原则尤为重要.

策略二：参数讨论法，直接转化为函数的最值问题

例2 （2010全国理21）设函数f（x）=ex-1-x-ax2.

（Ⅰ）若a=0，求f（x）的单调区间;

（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围.

分析 本题作为全国理科压轴题，由指数函数与二次函数（或一次函数）拼接而成，结构简单，学生容易上手.若用参数分离法，得到a≤ex-x-1x2，而右边的函数无最小值，虽有下极限但超出高中的范围无法求出，不能最终解决问题，此时可通过导数研究函数的单调性，借助于函数图像处理.

【过程】（Ⅰ）略.

（Ⅱ）∵f（x）=ex-1-x-ax2（x≥0），

∴f′（x）=ex-1-2ax.

（非基本函数的零点若不能直接求出，可通过观察，先讨论无零点的情况）

（ⅰ）当2a≤0时，∵x≥0，

∴f′（x）=ex-1-2ax≥0.

∴f（x）在（0，+∞）单调增.

∴f（x）≥f（0）=0，符合条件.

（ⅱ）当2a>0时，f″（x）=ex-2a.

（讨论非基本函数有零点情况时，可二次求导研究导函数的单调性，步骤与上面研究原函数的单调性一致）

（a）当0<2a≤1时，即0

f″（x）=ex-2a≥0，

∴f′（x）在[0，+∞）上单调增，即f′（x）≥f′（0）=0.

∴f（x）在[0，+∞）上单调增，即f（x）≥f（0）=0.

（b）当2a>1时，即a>12时，

令f″（x）=0，x=ln（2a）.

当x∈（0，ln（2a））时，f″（x）<0，f′（x）单调减;

当x∈（ln（2a），+∞）时，f″（x）>0，f′（x）单调增，

∴当x∈（0，ln2a）时，f′（x）

∴f（x）在（0，ln2a）递减，即当x0∈（0，ln2a）时，f（x0）

综上：a≤12.

参数讨论与参数分离相比，需找临界点讨论，有一定思维难度，但也是命题者的本意，高考命题者在设计命题时，就可以设计到用分离变量的方法不能解决问题（在高中的范围内），故平时练习评讲时，要从两个角度思考问题，在解决问题的过程中感悟参数“分离”还是“分类”的适用条件，提高解题能力.

若前两种方法无法入手，可从图像角度思考，转化为两图像的位置关系，可起到出其不意的效果.

对于恒成立问题，既要明确解题思路，又要根据题意灵活转化，才能提高解题正确率，优化解题方法.