几类数学探索性问题的探究

杨存基 李佳庚

【摘要】本文对几类数学探索性问题进行探讨，归纳总结了各类数学探索性问题的特征及解决各类探索性问题的数学思想方法和基本策略.

【关键词】数学探索性问题;特征;数学思想方法;解题策略

随着学校教育由应试教育向素质教育转变，培养德、智、体、美、劳全面发展的开拓型、创造型人才已成为社会对学校教育的要求.数学中探索性问题随之应运而生，并成为数学高考的热点问题.这既是中学数学培养学生具有开拓创造能力的要求，也是高等院校选拔高素质人才的需要.探索性问题是问题本身具有开放性，解题思维具有发散性的问题，它的结论不明确或条件不完备，要求学生通过探索、研究并总结出正确结论.因此，探索性问题立意具有新颖性，解法具有探索性，思维具有发散性，结论具有多元性等特征.探索性问题以问题为中心，融数学知识、思想、方法于一体，要求解题者根据给出的某种题设，归纳猜想结论，最后证明其正确性.探索性问题从较高层次上考查学生创造性思维能力，需要解题者有更多的创造性.正确运用数学思想方法是解决这类问题的桥梁和向导，引导学生选择合理有效的方法和手段进行思考、探索和研究，最后提出解决问题的思路和方法，创造性地解决问题.多年来，许多作者从不同的角度对探索性问题进行了一些研究，但由于探索性问题相对开放，解决起来没有特定解决问题的方法，这给探索性问题的教学和解题带来了困难.本文针对数学中的几类探索性问题进行归纳，总结了各类探索性问题的特征及解决各类探索性问题的数学思想方法和基本策略.

一、条件探索型探索性问题

条件探索型探索性问题是指结论已知，反过来探求使结论成立的充分条件的一类探索性问题.解决此类问题的基本策略是：先探寻结论成立的必要条件，再进一步寻找到结论成立的充分条件.在此过程中，应注意推理过程的可逆性，不能将必要条件当作充分条件.因此，可设出题目中指定的探索条件， 结合题设条件列出满足结论的等量或者不等量关系，通过解方程或解不等式等运算，求得所需寻找的条件.故条件探索型探索性问题的解法改变了传统的思维模式，有利于开拓和培养学生的逆向思维能力.

例1 已知数列{an}的首项为a（a为常数），an=2an-1+n2-4n+2（n∈N，

n≥2）.

（1）{an}是否可能是等差数列？若可能，求出{an}的通项公式;若不可能，说明理由;

（2）设b1=b，bn=an+n2n∈N，n≥2，Sn为数列{bn}的前n项和，且{Sn}是等比数列，求实数a，b满足的条件.

解 （1）由已知条件 a1=a，an=2an-1+n2-4n+2（n=2，3，…）得

a2=2a1+4-8+2=2a-2，a3=2a2+9-12+2=4a-5，a4=2a3+2=8a-8.

所以 a2-a1=2a-2-a=a-2，a3-a2=2a-3，a4-a3=4a-3.

假若{an}成等差数列，则a2-a1=a3-a2，得a=1.又由a3-a2=a4-a3，得a=0，矛盾.故{an}不可能成等差数列.

（2）由bn=an+n2得bn+1=an+1+（n+1）2

=2an+（n+1）2-4（n+1）+2+（n+1）2

=2an+2n2=2bn（n≥2）.

又因为b2=a2+4=2a+2，当a≠-1时，bn≠0.故{bn}从第2项起是以2为公比的等比数列.前n项和为

Sn=b1+（2a+2）2n-1-12-1

=b+（2a+2）2n-1-1.

当n≥2时，

SnSn-1=（a+1）·2n+b-2a-2（a+1）·2n-1+b-2a-2

=2-b-2a-2（a+1）·2n-1+b-2a-2.

又因为{Sn}是等比数列，所以SnSn-1（n≥2）为常数.

由a≠-1得b-2a-2=0， 故b=2a+2.

当a=-1时，b2=0，bn=2bn-1（n≥3），得

bn=0（n≥2）.

Sn=b1+b2+…+bn=b.又因为{Sn}是等比数列，故b≠0.

综上所述，{Sn}是等比数列，实数a，b满足条件为a≠-1

b=2a+2 或a=-1

b≠0.

评析 本题第（2）小题是条件探索型探索性问题，在第（2）小题的解答中，必须注意到a≠-1时，b1=b，bn+1bn=2（n≥2），仅表示数列{bn}从第2项起成等比数列;另一方面，SnSn-1（n≥2）为常数，也可理解为（a+1）·2n+b-2a-2（a+1）·2n-1+b-2a-2=t（t与n无关），对n≥2恒成立.解方程（a+1）t-2×2n-1+t-1b-2a-2=0，对n≥2恒成立.在a≠-1条件下，同样可得b-2a-2=0（此时t必等于2）.这里应用了方程思想，在处理数列问题时常应用函数与方程的思想方法.

小结 在解决条件探索型探索性问题时，由于其结论明确，可将结论和题设都视为已知条件，借助演绎、推理的手段探求出所需寻求的条件是否存在，或是否合理.在探索的过程中，从正、逆两个方向不断变换思维角度，努力向目标靠近.

二、结论探索型探索性问题

结论探索型探索性问题是指仅给出了条件，由所给的条件探求结论的探索性问题.解决此类探索性问题要充分利用已知条件，经过观察、分析、归纳、猜想，探索结论，其基本的解题策略是：通过联想、类比、估计应用定义和定理，由条件直接导出结论.可采用特殊到一般、具体到抽象的归纳过程获得结论，最后给出一般性证明.此类探索性问题着力培养了学生的分析、归纳、综合、推理等方面的能力.

例2 （2010年福建卷）已知函数f（x）=axsinx-32a∈R，且在0，π2上的最大值为π-32.

（1）求函数f（x）的解析式;

（2）判断函数f（x）在0，π内的零点个数，并加以证明.

解 （1）对已知函数求导得f′（x）=asinx+xcosx.

由于当x∈0，π2时，sinx+xcosx>0，所以

当a=0时，f（x）=-32，不合题意;

当a<0时，f′（x）<0，x∈0，π2，所以f（x）在0，π2内单调递减，

f（x）max=f0=-32，不合题意;

当a>0时，f′（x）>0，x∈0，π2，所以f（x）在0，π2内单调递增，

f（x）max=fπ2=π2a-32.

依题意得π2a-32=π-32，故a=1.

所以f（x）=xsinx-32.

（2）由（1）得f（x）=xsinx-32，令h（x）=f′（x）=sinx+xcosx.

Ⅰ） 当x∈0，π2时，f′（x）≥0，所以y=f（x）在0，π2上单调递增，则f0×fπ2=-32×π-32<0， 故y=f（x）在0，π2上有唯一零点.

Ⅱ） 当x∈π2，π时，则h′（x）=2cosx-xsinx<0，所以f′（x）在x∈π2，π上单调递减，则f′π×f′π2=-π<0，故存在唯一x0∈π2，π使得f′x0=0.

当π2≤x0，所以f（x）在π2，x0上单调递增.由fπ2>0得，当x∈π2，x0时，f（x）>0;

当x0≤x<π时，f′（x）<0，所以f（x）在x0，π上单调递减.又因为x∈x0，π时，fx0×fπ<0，所以y=f（x）在x0，π上有唯一零点.

由Ⅰ）和Ⅱ）得函数f（x）在0，π内有两个零点.

评析 本题第（2）小题是结论探索型探索性问题，结论不明确，需要学生从已知条件出发，应用所学过的知识进行推理，探索得出结论.

小结 结论探索型探索性问题的解答需要综合应用多种数学思想和方法，将所求的问题与熟知的问题相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移，即可取得举一反三、触类旁通的奇妙效果.

三、条件结论重组型探索性问题

条件结论重组型探索性问题是给出了一些相关命题，需要对这些命题进行重新组合构成新命题，或只给出了题设和结论的一些探求的方向，需要去探求条件和结论的探索性问题.解决此类问题的基本策略是：对条件和结论进行多种重组，逐一探求，以排除不合理、不符合条件或错误的命题.解决此类探索性问题要善于应用观察、分析、类比、联想等方法，需要有更强的基础知识和基本技能，要求学生能够综合应用所学知识.因此对条件结论重组型探索性问题的学习有利于培养学生的创新思维和创造力.

例3 （2004年北京卷） 已知三个不等式：ab>0，bc-ad>0，ca-db>0（其中a，b，c，d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（  ）.

A.0    B.1    C.2    D.3

分析 题设中的三个不等式存在三种组合关系，可以构造三个命题，需要对构造的三个命题的正确性逐一加以判断.

（1）若ab>0，bc-ad>0， 则ca-db=bc-adab>0.所以由ab>0，bc-ad>0可以得到ca-db>0.

（2）若ab>0，ca-db>0，则bc-adab>0，进而bc-ad>0.所以由ab>0，

ca-db>0可以得到bc-ad>0.

（3）若bc-ad>0，ca-db>0，则bc-adab>0，ab>0.所以由bc-ad>0，

ca-db>0可以得到ab>0.

由上所述三个命题均为真命题，答案为D.

评析 本题就是一个条件结论重组型探索性问题，题目没有给出明确的条件与结论，需要学生通过自己观察、推理、演绎来重组条件和结论，最后根据重组条件结论得到的命题的真假确定答案.

小结 条件结论重组型探索性问题综合性较强，具有很强的开放性，解答思路灵活，特别是往往需要进行分类探索，对每种情况都加以细致分析，对严谨性要求很高，需要解题者具有很强的综合能力.因此说条件结论重组型探索性问题是真正意义上的开放性问题.

四、是否存在型探索性问题

是否存在型探索性问题是指在一定条件下判断某种对象或结论是否存在，是一类结论不确定的探索性问题.这类问题对象或结论存在与否有待判断，常常为“对象或结论是否存在或可能？若或可能则求出（或证明），若不存在或不可能，请说明理由”.它是一类综合性强、覆盖面广的探索性问题.解决此类问题的基本策略是：首先假设需要判断的对象存在（或不存在），其次依据假设及题目已给出条件运用已有的知识和方法进行正确的逻辑推理，若能求出结果，则可以肯定假设，进一步给出相应的证明;若通过合理正确的推导推出矛盾，则可以否定假设.此类问题有利于培养学生分析、猜想、推理等方面的能力.

例4 （2011年湖南卷）设函数f（x）=x-1x-alnx（a∈R）.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）若f（x）有两个极值点x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值;若不存在，请说明理由.

解 （1）由题设知f（x）的定义域为（0，+∞），求函数f（x）的导数得

f′（x）=1+1x2-ax=x2-ax+1x2.

令g（x）=x2-ax+1，其判别式Δ=a2-4.

当|a|≤2时，Δ≤0，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增;

当a<-2时，Δ>0，g（x）=0的两根

x1=a-a2-42，x2=a+a2-42

都小于0，在（0，+∞）上f′（x）>0，故f（x） 在（0，+∞）上单调递增;

当a>2时，Δ>0，g（x）=0的两根为

x1=a-a2-42，x2=a+a2-42，

x1x2=1.（4.1）

当00;当x1x2时，f′（x）>0.

所以f（x）分别在0，x1，x2，+∞上单调递增，在x1，x2上单调递减.

（2）假设存在满足条件的a.由（1）的上述求解过程知，a>2.又因为

f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+x1-x2x1x2-a（lnx1-lnx2），

k=f（x1）-f（x2）x1-x2=1+1x1x2-a·lnx1-lnx2x1-x2.

由（4.1）得k=2-a·lnx1-lnx2x1-x2.

若存在a，使得k=2-a，则lnx1-lnx2x1-x2=1，即lnx1-lnx2=x1-x2.

又由（4.1）得

x2-1x2-2lnx2=0，x2>1.（4.2）再由（1）知，函数ht=t-1t-2lnt在（0，+∞）上单调递增，而x2>1，所以

x2-1x2-2lnx2>1-11-ln1=0.

这与（4.2）式矛盾.故不存在a，使得k=2-a.

评析 例1的第（1）小题和本例题第（2）小题都是是否存在型探索性问题.通过假设a存在，根据题设的已知条件及函数的相关性质及斜率公式等知识，通过正确的推理推证出结论与假设矛盾，所以假设是错误的，即a不存在，从而否定假设.

小结 是否存在型探索性问题是高考试题中比较常见的一类探索性题型.“存在”即有，因此如果能实实在在地找出一个即可;“不存在”就是没有，不可能找到，这就需要说明理由，这时往往可在假设存在的情况下采用反证法加以证明.

五、探索规律型探索性问题

探索规律型探索性问题是指未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，探索、猜想，最后得出一般结论并证明的探索性问题.解决此类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、实验、归纳、类比、猜测、联想来探路，概括出一般规律，然后再应用演绎、推理给出严格的证明.探索规律型探索性问题解题过程中要求比较高的创新性，学生在寻找规律的过程中培养了抓住事物本质特征的能力.

例5 设{an}是正数组成的数列，其前n项的和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.

（1）写出数列{an}的前3项;

（2）求数列{an}的通项公式（写出推证过程）.

解 （1）由题设知

a1+22=2S1=2a1，

可得a1=2.同理，由

a2+22=2S2=2a1+a2=22+a2

可得a2=6.由

a3+22=2S3=2a1+a2+a3=22+6+a3

得a3=10.故所求数列{an}的前3项依次为2，6，10.

（2）由数列{an}的前3项依次为2，6，10，猜想该数列通项公式是an=4n-2.下面用数学归纳法证明结论.

当n=1时，a1=4-2=2，通项公式成立;

假设当n=k时，结论成立，即有ak=4k-2.由题意有ak+22=2Sk，

将ak=4k-2代入得到Sk=2k2;

当n=k+1时，由题意有

ak+1+22=2Sk+1=2Sk+ak+1，

ak+1+222=2ak+1+2k2.

即a2k+1-4ak+1+4-16k2=0.由ak+1>0，解得ak+1=2+4k=4（k+1）-2.

所以当n=k+1 时，结论也成立.

综上所述，上述结论对所有自然数n都成立，所以数列的通项公式为an=4n-2.

评析 本题第（2）小题是求数列的通项公式，由于直接不好求，所以先探索通项公式再严格证明，是典型探索规律型探索性问题.根据第（1）问中求出数列的前3项，然后对其前3项进行观察、分析、猜想结论，并证明结论的正确性.

小结 探索规律型探索性问题是对综合能力的考查比较全面的，要求学生根据已有的知识自主探索规律，就此来解决问题.这类问题与结论探索性问题相似之处在于均是对结论进行探索，不同之处在于结论探索性问题的结论已经有了可供研究的明确基础，而探索规律型探索性问题的结论通常更具有隐蔽性，需要借助多种方法去寻求研究的方向，要求解题者从问题情景中自主地探索，提取有价值的信息，获取规律，这类问题的学习与研究培养了学生探索未知世界的能力.

最后需要指出的是探索性问题虽然存在基本的解题策略，但对具体问题时往往并不能遵循常规程序和现成的套路，需要学生综合应用较多的数学知识和数学思想方法，通过观察、实验、联想、类比、猜想、抽象、概括等手段探索解决问题.古人云“授人以鱼，不如授人以渔”，在教学中让学生了解知识形成的过程，掌握数学知识，掌握数学思想方法的同时加强探索性问题的教学与实践，让学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的综合的系统过程，这对学生的各种能力的培养是一种很好的锻炼，也是培养创新精神和发现能力的重要途径.通过长期足够的学习和训练以后，学生就能够积极主动地创造性地解决更多的问题.

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