以正方体为载体例谈转化与化归思想在立体几何中的应用

冯小红

【摘要】立体几何中最重要、最常用的思想就是转化与化归思想.其基本思路是通过对空间图形的观察、分析、联想使其转化为易求的问题.常见的类型有：复杂问题简单化，抽象问题具体化，立体图形平面化，陌生问题熟悉化，一般问题特殊化等.下面试举例说明.

【关键词】立体几何;正方体

一、复杂问题简单化

例1 如图1，已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F分别为

棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积.

图 1

略解 ∵VF-A1D1E=13S△A1ED1·a=13·14a2·a=a312，VF-A1EB=13S△A1EB·a=13·14a2·a=a312，∴VA1-EBFD1=VF-A1D1E+VF-A1EB=a36.

注意提示 如果直接利用棱锥体积公式计算，将是困难的，但将其转化为两个三棱锥之和，就变得简单易解.

二、抽象问题具体化

例2 如图2，四个互相平行的平面，相邻两个平面间的距离为h，若一个正四面体的四个顶点分别在这四个平面上，求该正四面体的棱长.

图2（1）  图2（2）

略解 将正四面体置于正方体BH中，截面BEF，DHG是四个互相平行的平面中间的两个，容易证得，F，G分别是正方体棱AH，CE的中点，点A到EF的距离为h.

设AE=a，则AF=a2，EF=52a，由EF·h=AF·AE得，a=5h，∴AC=2a=10h.

注意提示 本题解决的问题很抽象，不易直接建立运算关系，若将之置于正方体内考察，问题就十分明朗化了.因此与正四面体有关的问题，常常可转化为与正方体相关的问题来解决.

变式训练：

1.已知棱长为a的正四面体内有一与各棱都相切的球，求球的表面积、体积.

提示：以正方体为载体，转化为正方体内切球，则正四面体的棱长a就是正方体的面对角线长，易得球半径为64a，故表面积S=3πa22，体积V=68πa3.

2.过球O表面上任意一点P作球的两两垂直的三条弦PA，PB，PC，且PA=PB=PC=a，求球O的半径.

提示：以正方体为载体，转化为正方体外接球，正方体的体对角线长就是球O的直径，易得球半径为32a.

三、立体图形平面化

例3 将正方体（如图①所示）截取两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的左视图为（  ）.

图①  图②

答案 B.

略解 左视图实线为AD1的投影线，虚线为B1D的投影线.

注意提示 根据空间几何体的结构特征画出三视图，或根据三视图还原几何体，从而求其表面积及体积，实现空间图形与平面图形的转化.它一直是新课标高考命题的

重点.本题易错点特别提示：左视图的宽是几何体底面的宽度，而不是某个侧面平面图形的宽;另外左视图是从几何体的左侧向右侧投影，不能看错方向.

四、陌生问题熟悉化

例4 若两条异面直线称为“一对”，则在正方体的八个顶点间的所有连线中，成异面直线的共有多少对？

分析 如果以其中一条棱进行分类讨论，很难避免不重不漏，因而将其分解成以下两个熟悉的问题.

①以正方体的八个顶点为顶点的三棱锥有多少个？

②若两条异面直线称为“一对”，任一三棱锥中有多少对异面直线？

略解 ①因为正方体有6个表面，6个对角面，因此答案是

C48-12=58 对.

②的答案是 3对.

本题的答案是58×3=174对.

注意提示 直接寻找异面直线的对数很繁且易重易漏.引入三棱锥，通过计算三棱锥的个数，使得三棱锥的个数与异面直线的对数建立一种对应关系，从而将陌生问题转化为熟悉的问题.