一般化策略在高中数学解题中的应用

张安文

在解决数学问题时，一般来说，特殊情况很容易被人们接受，然而我们有时也会遇到一些比较复杂或联系不明显的特殊数学问题，它并不能将一般性的特性反映出来，这时我们就需要把原问题的范围扩大，要设法把特殊问题一般化，找出一个能揭示原问题基本特性的问题，进而解决原特殊问题，这种一般化方法解题策略经常会带来意想不到的效果.

一、一般化策略在求值中的应用

例1 已知：cosα+cosβ-cos（α+β）=32，α，β∈0，π2，求α，β.

解析 将条件等式整理为：

sinαsinβ+cosα（1-cosβ）+cosβ-32=0，由此可知直线x（1-cosβ）+ysinβ+cosβ-32=0与单位圆x2+y2=1有交点 （cosα，sinα），于是运用原点到直线的距离公式解决该问题.

解 d=cosβ-32sin2β+（1-cosβ）2≤1，整理得cos2β-cosβ+14≤0，cosβ-122≤0，∴cosβ=12.

又∵β∈0，π2，

∴β=π3，同理α=π3.

二、一般化策略在不等式中的应用

例2 已知：a，b∈R，且eba.

解析 要证ab>ba，只需证明 blna >alnb，即lnaa>lnbb，考察一般化，用一个变数代替了给定的常数x，将问题纳入到考察函数f（x）=lnxx，x∈（e，+∞）的单调性，这样，就便于用函数的工具来加以研究，从而证明了该问题.

证明 令f（x）=lnxx，x ∈（e，+∞）.

∵f′（x）=1-lnxx2<0，

∴函数f（x）=lnxx在（e，+∞）上是单调递减函数.

又∵e<a<b，

∴f（a）<f（b），即lnaa>lnbb.

∴ab>ba.

三、一般化策略在函数中的应用

例3 设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意的a，b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有f（a）+f（b）a+b >0，解不等式fx-12<fx-14.

解析 解抽象函数不等式，要设法将它转化为显性的不等式求解.这就需要具备两个条件：一、要把不等式转化为f（□）>f（△） 的形式;二、要判断函数的单调性，再根据函数的单调性，把抽象函数不等式的符号 “f”去掉，得到具体不等式求解.

解 先证明函数的单调性.

任取x1，x2∈[-1，1].

当x1<x2时，f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）x1+（-x2）（x1-x2）<0，

∴y=f（x）在-1，1上是单调递增函数，原不等式等价于-1≤x-12≤1，

-1≤x-14≤1，

x-12<x-14，

解得-12≤x≤54.

四、一般化策略在方程中的应用

例4 设一元二次方程7x2-（k+13）x-k-2=0的两根x1，x2，0

解析 有些学生从条件0

0<x1x2<2的错误，然后利用一元二次方程根与系数的关系求k的范围.如果将问题置于函数之中进行动态分析，我们不难发现，借助于运动的二次函数的图像与轴交点的坐标，即可确定k的范围.

解 设 f（x）= 7x2-（k+13）x-k-2，则

f（0）>0，

f（1）<0，

f（2） >0，

即k2-k-2>0，

k2-2k-8﹤0，

k2-3k>0，

解得-2

∴k∈（-2，-1）∪ （3，4）.

通过以上例题的求解我们知道一般化方法实际上就是想方设法构造一个与原问题形式一致，且容易解决的一般性问题，即寻求处理问题的一般特例，在一般情形的处理下探索解决原问题的方案，但在构造一般性问题时，需要进行分析观察原问题的形式包括原问题的基本特征，并将它们归纳整理成具有规律性的一般问题，构造出一个对解决原问题具有引路作用的一般问题，顺利地解出原题.因此，在高中数学教学中，教师要积极引导学生，有意识地对学生进行一般化思想培养方法的培养，这样，既培养了学生的思维能力，增强了对本质问题的认识，又激发了学生的学习兴趣.