课堂的意外生成与课后的反思探索

周珊娜

【摘要】本文通过一堂课“三角函数求最值”的某教学片段，展示师生教与学的能动关系，以及教后反思.

【关键词】意外生成;反思;探索

随着新课程改革的不断深入，课堂教学的过程已成为师生共度的历程、体验，在这样的课堂上，教学不再是由教师独家策划预定的剧本，倒更像是一部精彩的电影，随着故事情节的变幻莫测而不断高潮迭起，课堂上的“意外生成”正是使教学更给力的催化剂.如果教师能适度反思，不断追问学生，就能大大提升学生的学习能动性.下面就是我在“三角函数求最值”的课堂教学中的“意外生成”，进而反思与探索的成果：

在讲解完课本中三角函数式化简求解最值的习题后，给出一道拓展思考题：求函数y=sinx+cosx+sinx·cosx的最值.对该题，旨在引导学生发现次数不等，不能沿用“降次——化角——减名”的解题模式，并对比二次函数求最值的类型处理，也就是运用换元法，解之，即：（换元法1）令sinx+cosx=t，则sinx·cosx=t2-12，进而转化为

y=t+t2-12=12（t+1）2-1，-2≤t≤2.

结合二次函数的图像与性质解得最值：

当且仅当t=2时，ymax=122+12-1=2+12;当且仅当t=-1时，ymin=-1.

一般来说，介绍此法之后，也就达到预期的目的了.况且根据以往的经验，此方法是唯一的解法，且学生刚学完必修4，对于综合性题型接触不多，基础水平普遍不是很高，本来就此结束.“难道没有其他解法？学生有何想法？只是被动接受还是另有想法？如果能找到一种“更新”的解法，就能得到一个很好的写作素材.”于是我试问学生，能否将函数式变为关于一个角的某三角函数呢？于是就有

y=sinx+cosx+sinx·cosx=2sinx+π4+12sin2x.

至此，我本以为此路不通，停留片刻，学生甲不待举手直接大声喊：当x=π4时可同时取到最大值2和12.多么简洁明快啊，真的突破了教师惯用的“换元”思维定式，令人耳目一新.

当大家陶醉于这个漂亮的解法时，我并不罢休，继续反思，既然直觉观察x=π4时取得最大值，说明有内在的必然性和合理性，绝不是偶然.这不有学生自己发问：那什么时候取得最大值呢？ymin=-2-12会成立吗？怎么解释？

我也追问：“你是怎么发现的？到底能否化为一个角的三角函数呢？”

学生乙举手发表了想法：y=2sinx+π4+12sin2x

=2sinx+π4-12cos2x+π2

=2sinx+π4-121-2sin2x+π4.

令sinx+π4=t，则-1≤t≤1，结合二次函数的图像与性质可得：

当且仅当t=1时，ymax=22+12-1=2+12;当且仅当t=-22时，ymin=-1.

这时学生甲也说出了自己的解释：从y=2sinx+π4和y=12sin2x的图像上观察到它们同时取得最大值，但是最小值不能同时取得，所以ymax=2+12，ymin≠-2-12.

数形结合思想的应用和诱导公式的巧妙转化，我当场惊呆了，多么完美的解答啊！显然两名同学的解法产生都是在追问之下，促使进一步反思而产生的，其他同学或许有不明白，但是至少思索的兴致被大大调动了.此时下课铃声响了，可是同学们仍意犹未尽.我借此让学生课后总结归纳一下三种解法的特点，再思考探索新的解法.

该课给了我很大的触动，如果教师在课堂教学时保持敏锐的观察，多提问，留时间给学生思考，如果教师也有学生一样的求学心态，那么教学将是多么有趣的思维运动，学生还会厌学、抵触数学吗？

思考不停止，探索还在继续，不为解题，只为学习，学无止尽.