一道导数题的探究及发现

朱允洲

[摘要]导数及其应用作为高中数学的基础知识，是高考的热点问题之一，也是难点之一.故对一道导数题进行探究，为广大教师进行有效性教学提供借鉴与启示.

[关键词]导数高中数学探究 发现

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）020063

问题：设函数f（x）=ax+sinx+cosx，若函数f（x）的图像存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围是.

这是一道期末考试题，本题考查了导数的几何意义、导数的运算、三角函数的知识，以及学生对存在性问题的分析、处理的能力.

笔者课后统计发现此题的正确率很低，主要原因有两个：第一、虽然导数是新教材的热点，考查的难度一般不大，但教师对其教学难度的定位趋于一般化，学生对导数综合题的处理能力较弱；二、本题涉及了转化的思想和对存在性问题灵活处理的方法，综合性较强.

解析：对函数求导得f′（x）=a+2cos（x+π4），其值域为[a-2，a+2]，将此区间记为I.根据导数的几何意义，原问题可等价转化为：存在u，v∈I使得uv=-1（1）.不妨设u<0，v>0，则a-2≤u<0

0

uv=-1（2）.消去v，（2）式可化为a-2≤u≤-1a+2，因为若要满足此式的u存在，所以必有a-2≤-1a+2，解得a∈[-1，1].

几何解释：考虑函数v=-1u，动区间I始终包含原点，其长度为22.如右图，在函数v=-1u的图像上任取一点M（不妨设uM<0），则uMvM=-1，在两个坐标轴上分别取P，Q，R，使得PM⊥OP，|OQ|=|OR|=|PM|，则|uM|+|vM|=|OP|+|PM|=|PQ|，|PQ|的大小随M的运动而变化，其范围是[2，+∞）.对于（1）式，可从另一个角度理解为：存在M，使得[uP，uQ]I.若|PQ|≤22，则总有[uP，uQ]I成立，因此要使得（1）成立，只要|PQ|≤22，即|uM|+vM≤22，由-uM+-1uM≤22，解得-2-1≤uM≤-2+1，所以动区间I的左端点a-2应满足：-2-1≤a-2≤-2+1，故a∈[-1，1].（对于uM>0的情况，同理可求）

根据上面的探究方法，我们发现如下一般的结论.

结论1设函数f（x）=ax+msinx+ncosx（m2+n2≥1），若函数f（x）的图像上存在不同的两点A，B使得曲线y=f（x）在A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围是：[-m2+n2-1]，m2+n2-1].（当m=n=1时，即为文首题中a的范围）

结论2设函数f（x）=ax+g（x），若函数g（x）可导，g′（x）的值域为[m，n]，且n-m≥2，若函数f（x）的图像上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围是：[max{-m-n-（n-m）2-42，-n}，min{-m-n+（n-m）2-42，-m}].（当m=-2，n=2时，即为文首题中a的范围）

结论3设函数y=f（x）可导，且f′（x）的值域为[a，b]，ab<0，则函数y=f（x）的图像上存在不同的两点A，B，使得y=f（x）在A，B处的切线互相垂直的充要条件是：ab≤-1.

证明：充分性是显然的.下证必要性.

方法1：因为函数y=f（x）的图像上存在不同的两点A，B，使得y=f（x）在A，B处的切线互相垂直，所以f′（xA）·f′（xB）=-1.又因为f′（x）的值域为[a，b]，ab<0，所以f′（xA）、f′（xB）∈[a，b].不妨设f′（xA）<0，则f′（xB）>0，于是a≤f′（xA）<0且0

方法2：由前面的几何解释我们知道，函数v=-1u的图像上任意一点M所对应的区间[uP，uQ]的长度|PQ|≥2，因此，f（x）的图像上如果存在两点处的切线互相垂直，则应有b-a≥2，因为a<0，所以ab≤a（a+2），而[a（a+2）]min=-1，故ab≤-1.

注1：事实上，不难证明：当a<0时，ab≤-1b-a≥2.

注2：文首题中，由（a-2）·（a+2）≤-1，即得a∈[-1.1].

（责任编辑钟伟芳）