浅谈如何利用定义解题

王家东

[摘要]一直以来，高中数学解题是教师教学的难点，也是学生学习的难点.解题的根本是对定义的了解和应用.具体的教学实例证实，利用定义解题，可提高解题效率，取得事半功倍的效果.

[关键词]定义解题教学实例

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）020061

“数学本身是演绎科学，常借助于定义和证明，用可靠的方法，按照定律推演，蔚然成为一门学科.”数学推理证明过程的每一步要有理有据，要严密，这就决定了定义是数学推理和解题的基础.直接利用定义解题的例子很多，而且利用定义解题有时还会收到意想不到的效果.

一、利用定义求值

【例1】已知圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）和直线l：ax+by=a2+b2.求圆截直线所得的弦长.

解析：解此题时，如果用常规的解法，将面临解二元二次方程组的问题，非常复杂.但如果用定义解这道题，将易如反掌.因为由题意不难发现，圆心坐标恰好满足直线l的方程，说明所截的弦恰好是圆的直径，从而不难求出截得的弦长为2r.

二、利用定义求最值

【例2】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）内有一点M（x0，y0），F为椭圆的右焦点，N为椭圆上一动点，求︱MN︱+ac︱NF︱的最小值.

解析：此题若运用代数方法求解，将计算量非常大，但通过分析，结合图形及椭圆的定义易知︱NF︱d=e（e=ca，d为N点到椭圆右准线的距离），所以ac︱NF︱=d，所以︱MN︱+ac︱NF︱=︱MN︱+d，故当M，N连线垂直于椭圆的准线时，︱MN︱+ac︱NF︱有最小值，即M点到椭圆右准线的距离，从而不难求出最小值为a2c-x0.

三、利用定义解不等式

绝对值不等式历来是中学数学的难点，因为解决此类不等式要进行分类讨论，过程较复杂，但如果巧妙利用有关定义，会使问题得到简化.

【例3】求不等式︱x-2︱+︱x-3︱>1的解集.

解析：要解上述不等式，我们由数轴上两点间的距离的定义及其计算公式可知：︱x-2︱+︱x-3︱恰是数轴上一动点M（x）到两个定点P（2），Q（3）的距离之和.结合图形易知：当M点在线段PQ上时，︱PM︱+︱QM︱=1，否则︱PM︱+︱QM︱>1.从而可知，不等式︱x-2︱+︱x-3︱>1的解集为（-∞，2）∪（3，+∞）.

四、利用定义求曲线的轨迹方程

【例4】已知圆C在y轴的右侧，半径为r（r>0），圆C与y轴相切，圆心C到F（1，0）的距离为r+1，求圆心C的轨迹方程.

解析：由题意可知，︱CF︱=r+1，而圆心C到y轴的距离为r，所以点C到直线l：x=-1的距离为r+1.所以点C到F（1，0）的距离与到直线l的距离相等，由抛物线的定义可知，C点的轨迹是以F点为焦点，l为准线的抛物线.所以，C点的轨迹方程为y2=4x.

五、利用定义证明结论

“圆的神奇直线”介绍的是方程x0x+y0y=r2的几何意义.其实此结论可以推广到任意的椭圆和双曲线上.现在，我用曲线方程与方程的曲线的定义来证明此结论，过程相当简单.

定理1：已知曲线C：x2a2±y2b2=1（a>0，b>0）上一定点M（x0，y0），则方程x0xa2±y0yb2=1表示的是曲线C中过M点的切线.

定理2：已知曲线C：x2a2±y2b2=1（a>0，b>0），M（x0，y0）为曲线外一点，过M点向曲线C引两条切线，切点分别为P1，P2，则直线P1P2的方程为x0xa2±y0yb2=1.

证明：设P1（x1，y1），P2（x2，y2），由定理1可知，直线P1M的方程为x1xa2±y1yb2=1，P2M的方程为x2xa2±y2yb2=1.

又因为M点为直线P1M，PM2的交点.所以有M点既在直线P1M上，又在直线P2M上，所以有x1x0a2±y1y0b2=1，x2x0a2±y2y0b2=1.

所以P1（x1，y1），P2（x2，y2）的坐标均满足方程x0xa2±y0yb2=1，从而定理2得证.

通过上述例题的解答，我们可以看出，有些数学问题如果不利用定义去解答，常会出现“山重水复疑无路”的情况.但通过巧妙的定义运用，往往又会收获“柳暗花明又一村”的惊喜.

（责任编辑钟伟芳）