谈数学课堂教学中教学立意的层次和提升

顾昀 王志成

[摘要]教学立意决定了一堂课的教学境界.以“一元二次不等式的解法”为课题的同课异构的教研活动，充分体现了三种层次的教学立意，即知识立意、能力立意、生本立意.三者呈现出一种递进的关系.作为教育工作者，我们应学会提升教学立意.

[关键词]教学立意知识立意能力立意生本立意递进

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）020017

王国维在《人间词话》中指出：“词以境界为最上.有境界则自成高格，自有名句.”同样，数学课堂教学以立意为最上，立意高远则自会育人，自成经典.最近，笔者参加了一次以“一元二次不等式的解法”为课题的同课异构教研活动，听了三节研讨课并参与评议，引发许多对教学立意的思考.

一、教学立意的三种层次

（一）“授之以鱼”——知识立意

【教学流程】甲教师“一元二次不等式的解法”一课的教学流程如下.

1.探索活动

（1）解一元二次方程：①x2-2x-3=0；②x2-2x+1=0；③x2+x+1=0.

（2）作上述方程对应的二次函数图像，标出与x轴的交点.

（3）你从中发现了什么结论？

2.数学建构

（1）指出y=x2-2x-3的图像与x轴的交点的横坐标，引导学生回答对应方程的根是什么；指出x2-2x-3=0（>0，<0）时对应的取值（范围）是什么.

（2）明确一元二次不等式的概念，并说明什么是不等式的解集.

3.例题分析

【例1】解不等式x2-5x+6<0.并把“<”改成“≤”“>”“≥”后，再要求学生口答结果.

【例2】解不等式x2+x+1>0.并把“>”改成“≤”“<”“≥”后，再要求学生口答结果.

总结首项系数为正时，一元二次不等式的求解步骤.

4.巩固练习.与例题类似的模仿性练习.

5.课堂小结.总结一元二次不等式的解法.

甲教师在教学时考虑到解不等式的关键是画图像和求方程，所以帮助学生巩固画图像和求方程的基础，并在此基础上安排探究活动.一开始学生会有疑问：为什么要解方程？为什么要画图像？甲教师的目的就是通过图像最后得到“大于在两边，小于在中间”的解一元二次不等式的记忆口诀.但这样的探究只是名义上的探究，学生没有丰富的探究空间，而是一步一步钻进教师预设的“圈套”，被教师牵着鼻子去快速发现“新知识”，其实是一种“假探究”.教学中不等式的解法按题型分类，及时巩固反馈，有利于学生模仿并熟练掌握一元二次不等式的解法，形成相应的解题技能.通过以上分析，笔者认为甲教师的课堂中，学生对基础知识、基本技能掌握得较好，达到了“授之以鱼”的教学效果，课堂教学立意是知识立意的层次.

（二）“授之以渔”——能力立意

【教学流程】乙教师“一元二次不等式的解法”一课的教学流程如下.

1.检查预习

①作出函数y=2x-7的图像，说出y=0，y>0，y<0时对应的x值，并与3.5比较大小；②复习二次函数图像的特征；③对两个二次三项因式分解；④作二次函数y=x2-x-6的图像.

2.创设情境

由一个情境实例引出概念，并判断所给的几个不等式是不是一元二次不等式.

3.问题探究

根据图像回答：与x轴的交点坐标；当y=0（y>0，y<0）时，x的取值（范围）分别是什么.

4.例题分析

【例1】解不等式x2-x-6>0.总结解一元二次不等式的步骤后，完成练习：解不等式2x2-3x-2≤0，并对Δ>0时的情形进行表格总结，得出口诀“大于在两边，小于在中间，等于在两点”，并运用口诀重解例1.

【例2】解不等式-x2+x+6<0.讲评例题，进行变式练习，讲练结合.

【例3】解不等式-3x2-6x>2，并完成练习：解不等式x（x-2）≥1.

5.小结引申

教师帮助学生小结解一元二次不等式的一般步骤，并提出运用符号法则的解法.最后，引导学生思考Δ<0，Δ=0时不等式的解法.

乙教师将知识铺垫放在课前，新课则从一个情境实例切入，引出概念，让学生通过观察图像，重点研究Δ>0时一元二次不等式的解法，特别是不同变式的解法，对易错点进行剖析，将图像解法同符号法则、口诀应用相结合，层层铺垫，较好地渗透了数形结合思想、化归转化思想，有利于培养学生在新情境下应用所学知识分析和解决问题的能力.乙教师重视在学生掌握双基的基础上，培养学生的各种数学能力，达到了“授之以渔”的教学效果，课堂教学立意是能力立意的层次.

（三）“授之以育”——生本立意

【教学流程】丙教师“一元二次不等式的解法”一课的教学流程如下.

1.探索活动

（1）尝试画出y=2x-7的图像，填写x与y的对应值表.观察：①当x时，y=0，即2x-7=0；②当x∈时，y<0，即2x-7<0；③当x∈时，y>0，即2x-7>0.

（2）归纳反思.一般的，如果直线y=ax+b与x轴的交点是（x0，0），那么有如下结果：①当a>0时，一元一次不等式ax+b>0的解集是；一元一次不等式ax+b<0的解集是.②当a<0时，一元一次不等式ax+b>0的解集是；一元一次不等式ax+b<0的解集是.

2.类比研究

尝试画出y=x2-2x-3的图像，填写对应值表；观察y=x2-2x-3的图像与x轴交点的坐标，当y=0（y>0，y<0）时，x的取值范围；归纳：当y=0（y>0，y<0，y≥0，y≤0）时，得到二次函数对应的方程和不等式.指出形如ax2+bx+c>0（≥0，<0，≤0）的不等式（其中a≠0），叫做一元二次不等式.

3.意义建构

①聚焦问题.如何解一元二次不等式x2-2x-3<0？②尝试交流.根据二次函数y=x2-2x-3的图像，回答x取什么值时，y=0；x取什么值时，y<0.③观察比较.具体分析二次函数的图像被x轴分成三个部分，x轴上方、x轴上、x轴下方分别对应y>0、y=0、y<0，从而找到满足一元二次不等式的x的取值范围，明确一元二次不等式的解集的概念.④归纳提升.确定一元二次不等式的解集的关键是二次函数图像的形状及其与x轴的交点坐标.

4.实例剖析

【例1】解不等式3x2+5x-2>0，并交流3x2+5x-2≤0的解法.

①引导质疑.如果首项系数为负，怎么处理？②反思探究.不等式的解集的区间端点与对应方程根的关系是什么？由根如何定解集？③变式练习.有根时几种形式的一元二次不等式求解.④拓展提升.不等式a（x-1）·（x-2）<0的解集为{x|x<1或x>2}，则a与0的关系为；不等式ax2+bx-1>0的解集为{x|3

5.聚焦问题

如果y=ax2+bx+c的图像与x轴只有一个公共点呢？没有公共点呢？具体研究下面两个不等式的解法：（1）9x2-6x+1>0；（2）x2-4x+5>0.

6.归纳总结

总结解法步骤，并用表格总结Δ>0，Δ=0，Δ<0的三种情形.

这些教学环节的设置很好地向学生渗透了从一般到特殊以及归纳的思想，教给学生研究不等式解法的一个重要的“基本套路”——考查函数零点.区别于聚焦研究不等式解法的甲课和聚焦研究Δ>0情形的乙课，丙课聚焦函数特征，将不等式的解法放在知识结构的系统中，突出寻求图像特征与不等式、方程的关系.学生能够自主探究不同情形下不等式的解法，而不是一题一技，使得课堂教学获得最大效益，具有很好的延展性.通过以上分析，笔者认为丙课充分挖掘了知识内容所蕴含的发展价值，成功实现了课堂教学的育人价值，充分体现了以生为本的教学理念，达到了“授之以育”的教学效果，课堂教学立意是生本立意的层次.

二、教学立意的提升

从知识立意到能力立意，再到生本立意，教学立意的层次越来越高，呈现出一个递进的关系.教学立意由低到高，对应着课堂教学的思想性由肤浅到深刻，课堂教学的关注点由关注学生的眼前利益到关注学生的长远利益.但知识立意、能力立意和生本立意并不是对立排斥的关系，知识立意着眼于知识学习与技能训练，能力立意重点关注学生思维能力的提高，在知识学习与能力培养的过程中注重启发学生逐步揭示问题的本质，形成数学素养，获得长远发展，由此上升到生本立意.那么，如何提升数学课堂教学中的教学立意呢？

（一）关键是要理解数学.教师要站在系统的高度，以结构化的观点看待数学，善于将当堂内容放在过去或将来课时的背景下，利用学生已有的生活阅历和知识经验组织教学.要将数学教学看做是数学思想的传递和领悟过程，准确把握数学概念、定理、法则、公式等的逻辑意义，深刻领悟数学内容蕴含的思想方法，善于区分核心知识和非核心知识.可以说，教师对数学的理解能力决定了其是否具有提升教学立意的意识和能力.

（二）切实聚焦目标.教师在教学中要思考学生通过本节课的学习，会形成什么样的知识结构，经历什么样的情感体验，获得什么样的活动经验，留存什么样的直观感受；要在了解、尊重学生已有的数学经验的基础上，明确教学目标，突出核心概念和思想方法，组织开展操作、探究、思考等活动，引导学生在形成数学知识、技能和能力的过程中学会总结、思考、反思，发展思维品质，完善个性素养.

（三）要聚焦核心问题.问题是推动思维的动力，选取聚焦问题时，一般要考虑以下几点：第一，是本课的核心问题，是在已有的经验上展开生成的新概念或方法，具有概括性；第二，是知识结构建立的结点，是知识链条上的一个环节，具有联系性；第三，是站在系统的高度，为后续学习提供经验的依靠点，具有迁移性.例如本节课的聚焦问题是：“二次函数图像被x轴分成几个部分时的分界点及不同值所对应的x的取值范围”的研究.

[基金项目]江苏省教育科学规划2013年度重点研究课题：中职数学基本活动经验及教学实践研究（课题编号：B-a/2013/03/009）研究成果之一，主持人：王志成.

（责任编辑钟伟芳）