探析利用基本不等式求最值的方法与技巧

许彩芳

[摘要]基本不等式在高中数学的地位是很重要的，在高考中也是重点和难点，而且变化和方法多样，其中最常见的题型是利用基本不等式求最值.针对高中阶段的一些基本不等式求最值问题的解题方法与技巧做简单的归纳总结，可培养学生的数学能力.

[关键词]基本不等式最值解题方法技巧

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）020057

基本不等式是新课标高考考查的热点.几乎每年都有与其有关的题目，最为常见是求函数的最值，因此运用基本不等式求最值的问题，是值得我们重视的.但学生在运用基本不等式求解时，常忽略某些条件，以至解题受阻.所以，学生在解题中应学会利用一些方法和技巧，对所求式子进行适当的变形.而要掌握这些技巧对学生来说有一定的难度，为此，本文介绍几种常用的技巧，以供参考.

一、基本不等式及使用条件

若a，b∈R+，则a+b≥2ab.

（1）a，b都是正数；

（2）和a+b或积ab为定值；

（3）当且仅当a=b时，取等号.

（4）常用的形式：①a2+b2≥2ab；②a+b≥2ab（a，b∈R+）；③ab≤（a+b2）2（a，b∈R+）.

运用基本不等式解题时，必须满足上面的三个条件（1）（2）（3），即“一正、二定、三相等”.而现实中，不是每一题都同时满足这三个条件的，因此需要做一些技巧性的转化、变形，使其满足条件，方能求得正确的最值.

二、几种常见的转化方法

1.化为正

【例1】求函数y=x-1+4x-1+3（x<1）的最大值.

解：函数中x-1项是负数，需要转化为正数.

∵x-1<0，∴-（x-1）>0，

∴-（x-1）+4-（x-1）≥2[-（x-1）]×4[-（x-1）]=4，

∴PCAP=PAAB，即PA2=PC·AB.

∵PC=52，AB=4，∴PA=52×4=10，

∴在Rt△APB中，由勾股定理得PB=16-10=6.

（2）过O作OE⊥PD，垂足为E.

∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED.

又∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，

∴四边形OACE为矩形，得CE=OA=2.

又PC=x，∴PE=ED=PC-CE=x-2，

∴PD=2PE=2（x-2），

∴CD=PC-PD=x-2（x-2）=4-x，

∴PD·CD=2（x-2）·（4-x）=-2x2+12x-16=-2（x-3）2+2.

∵2

∴当x=3时，PD·CD的值最大，最大值是2.

四、特殊值法

对一些较为抽象或一般规律不明显的数学问题，特别是答案相对唯一的选择题，可以采用抽象问题具体化、一般问题特殊化的方法来处理，以降低难度，快速确定正确答案.

【例4】已知整数a1，a2，a3，a4……满足下列条件：a1=0，a2=-|a1+1|，a3=-|a2+2|，a4=-|a3+3|……以此类推，则a2012的值为（）.

A.-1005B.-1006C.-1007D.-2012

分析：本题看上去似乎不易，既有绝对值，又要计算到a2012.但我们可以先从已知条件出发，计算出几个简单的、特殊的值，然后找寻其中的规律，再确定答案.

解：∵a1=0，

∴a2=-|a1+1|=-1，a3=-|a2+2|=-1，

a4=-2，a5=-2，a6=-3，a7=-3，

a8=-4，a9=-4，a10=-5，a11=-5，

......

∴a2012=-20122=-1006，故选B.

总之，数学转化思想是中学数学中最活跃、最实用的思想.在平时的教学中，教师应注意对学生进行转化思想的渗透，有意识地运用转化方法，引导学生灵活地解决有关的数学问题，从而提高学生的思维能力和解题能力.

（责任编辑钟伟芳）