转化思想在解题中的应用研究

周小红

[摘要]数学的本质是转化，即把生疏的、抽象的、复杂的问题转化为熟悉的、具体的、简单的问题.数学转化思想是指把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力.教学中渗透转化思想，可提高学生的思维能力和解题能力.

[关键词]转化方法思维能力解题能力

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）020056

转化是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题化为一类已经解决或比较容易解决的问题的思维方法.数学转化思想无处不在，它是分析问题、解决问题的有效途径，它包含了数学特有的数、式、形的相互转换.常用的转化方法有换元法、等积转化法、函数法、特殊值法等.

一、换元法

换元法就是在解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个变量去代替它，从而简化问题.换元的本质是转化，将问题转移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化.

【例1】如果a、b是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，则a2+2a-b的值为.

分析：a、b是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，可用求根公式求出a、b，再把a、b代入代数式a2+2a-b求值.但这样计算太过麻烦，一是根的结果复杂；二是要分两种情况讨论两根的取值；三是根的平方计算不易.因此，此种方法不可取，我们可用等价代换和整体代换的方法轻松解决这一问题.

解：∵a是一元二次方程x2+3x-2=0的根，

∴a2+3a-2=0，即a2=2-3a，

∴a2+2a-b=2-3a+2a-b=2-a-b=2-（a+b）.

又∵a、b是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，

∴a+b=-3，

∴a2+2a-b=2-（a+b）=2-（-3）=5.

二、等积转化法

求线段的长，有时可以转化为点到线的距离，再把相应的线段放入三角形中，往往可以由等面积这一等式，转变成线段间的关系.

图1【例2】如图1，P为边长为a的正三角形ABC内任一点，过点P分别向三边作垂线，垂足分别为D、E、F，求PD+PE+PF.

分析：P为正三角形ABC内一动点，而PD+PE+PF是三条动线段之和.但PD、PE、PF又是三条垂线段，可联想到三角形的高.因此，连接PA、PB、PC，△ABC就被分割成三个三角形，从而就有大三角形的面积等于三个小三角形面积之和，从而求得PD+PE+PF.

解：连接PA、PB、PC，则S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PCA.

∵△ABC是边长为a的正三角形，

∴S△ABC=143a2.

又∵PD、PE、PF分别垂直AB、BC、CA于D、E、F，

∴S△PAB=12AB·PD，S△PBC=12BC·PE，S△PCA=CA·PF，

∴143a2=12a·PD+12a·PE+12a·PF，

即143a2=12a（PD+PE+PF），

∴PD+PE+PF=32a.

三、函数法

函数思想是一种重要的数学思想，一些几何问题、方程问题、不等式问题和代数问题等，可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题.

图2【例3】如图2，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2

（1）当x=52时，求弦PA、PB的长度；

（2）当x为何值时，PD·CD的值最大？最大值是多少？

分析：（1）由△PCA∽△APB，可得线段比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，再在Rt△PAB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长.

（2）求最值问题，一般要考虑到函数关系式的应用，特别是二次函数的应用.本小题题可先用含x的代数式分别表示PD、CD，整理出PD·CD是关于x的二次函数，最后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质求出式子的最大值及此时x的取值.

解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，且AB为⊙O的直径，∴AB⊥l.

又∵PC⊥l，∴AB∥PC，∴∠CPA=∠PAB.

∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°.

又PC⊥l，∴∠PCA=∠APB=90°，∴△PCA∽△APB，

∴y=x-1+4x-1+3≤-4+3=1，

当且仅当-（x-1）=4-（x-1），即x=-1时，等号成立.

当x=-1时，ymax=-1.

2.变定值

【例2】求函数f（x）=x2+4x2+1的最小值.

分析：因为x2×4x2+1不是“定值”，故不能直接运用基本不等式求解，为此需对原式按x2+1添（拆）项进行重组.

解：原函数化为f（x）=（x2+1）+4x2+1-1.

因为（x2+1）+4x2+1≥2（x2+1）×4x2+1=4，

当且仅当（x2+1）=4x2+1，即x=1或x=-1时，等号成立.

即f（x）≥4-1=3，所以f（x）min=3.

3.找等号

【例3】求函数f（x）=sin+4sinx，x∈（0，π）的最小值.

分析：运用基本不等式求三角函数的最值时，既要考虑等号，又要考虑三角函数的有界性（-1≤sinx≤1），使等号成立的条件与三角函数的有界性保持一致.

解：原函数化为f（x）=（sinx+1sinx）+3sinx.

∵x∈（0，π），∴0

∴sinx+1sinx≥2sinx×1sinx=2，

当且仅当sinx=1sinx，即sinx=1，x=π2时，等号成立.

故f（x）min=2+3=5.

4.拆项

【例4】设x>-1，求函数y=（x+9）（x+3）x+1的最小值.

分析：分子和分母没有相同的因式，很难化简成两项的和或两项的积，也就很难运用基本不等式，而分母中有x+1这个因式，所以分子的两个因式也要拆成有x+1的因式，通过约分使其有两项的和.

解：y=[（x+1）+8][（x+1）+2]x+1=（x+1）+16x+1+10≥2（x+1）×16x+1+10，

当且仅当x+1=16x+1，即x=3（x=-5舍去）时，等号成立.

∴ymin=18.

5.“1”的巧妙代换

【例5】已知x，y∈R+，且x+y=4，求1x+3y的最小值.

分析：这是一个条件不等式，而1x×3y并不是定值，所以需要对所求式子等价变形.1x+3y=1×（1x+3y）=x+y4（1x+3y）=y4x+3x4y+1，可以运用基本不等式来求解.

解：1x+3y=x+y4（1x+3y）=y4x+3x4y+1≥3y4x×3x4y+1=1+32，

当且仅当y4x=3x4y且x+y=4，即x=23-2，y=6-23时，等号成立.

所以1x+3y的最小值为1+32.

6.平方

【例6】已知x>0，y>0，且2x2+y23=8，求x6+2y2的最大值.

分析：条件式中的x，y都是平方式，而所求式中的x是一次式，y是平方式.若把所求式x6+2y2平方，则与已知条件的平方吻合，即可运用基本不等式来求解.

解：（x6+2y2）2=x2（6+2y）=3·2x2（1+y23）≤3[2x2+（1+y23）2]2=934.

当且仅当2x2=1+y23，即x=2，y=21时，等号成立.

所以，x6+2y2的最大值为923.

上述只是介绍了几种常见的转化方法，当然还有其他的方法，比如换元法、取倒数法、构造参数法、多次运用基本不等式等，在这里笔者就不一一介绍了.

总之，基本不等式是解决最值问题的有效工具.运用基本不等式求最值要同时满足三个条件：一正、二定、三相等，缺一不可.多数求最值的问题具有隐蔽性，学生掌握一些常见的变形技巧，可以更好地运用基本不等式求最值.

（责任编辑钟伟芳）