分部积分法的一些技巧

陈旭松

摘 要 分部积分法公式 = 看起来简单，用起来不容易，因为题目中的被积函数 常是一个整体，如何把 拆分成和 是学生最困难的，笔者通过多年教学摸索了一些经验，即选择的优先标准是按“反对幂三指”的顺序依次选择。

关键词 分部积分法 反对幂三指

设函数 = （）及 = （）具有连续导数，已知两个函数乘积的导数公式为 =  + 或 = 对上式两边求不定积分得 =

为方便，此公式也可以写成

=

这就是不定积分的分部积分法公式。

例1 求

解：选取 = ， = 则 = 1， = 代入分部积分公式

=

而容易积出，于是

=

但如果选择 = ， = 则 = ， =

=

此积分比原积分更不易求出，由此可见，如果选取不当，就求不出结果。

通过以上例子可以看出，用分部积分法的关键在于正确地选好及，应该怎样选取和呢？一般说要考虑以下两点：

（1）要容易求得;

（2）要比原积分容易积出。

具体地讲：由于被积函数多由幂函数，指数函数，对函数，三角函数，反三角函数等五大类基本初等函数组成，在长期的实践中摸索出，选择的优先标准为“反对幂三指”或“反对幂指三”。如被积函数是组成，则令 = ， = ;被积分函数是，则令 = ， = ;被积函数是组成，可令 = ， = ，也可令 = ， = 。

例2 求

解这里被积函数是  = ，即由幂函数与反三角函数之积组成设 = ， = 。

=  =  +  =    +

有时，在一个题目中可能多次使用分部积分法，才能得到结果，为了简化这类问题的计算，我们给出一种相对简单的方法来处理此类积分，我们把公式

=

表示成表格形式

即 =

例3 求

解：按“反对幂三指”的顺序，选 = ， = 写成表格形式

所以 =

=  =

例4 计算

解：按“反对幂三指”的顺序，选 = ， = 写成表格形式

线段两端的式子相乘，乘积的等号取线段上的符号（正负交替出现）所以

=  +  +

= （） +

总之，理解分部积分公式，掌握以上选择的优先标准“反对幂三指”用分部积分法求积分就会事半而功倍了。

参考文獻：

[1]斯托利亚尔.数学教育[M].北京：人民教育出版社，1985.

[2]美]波利亚.数学与猜想[M].北京科学出版社，1989.

[3]姚允龙.高等数学与数学分析（方法导引）[M].上海：复旦大学出版社，1998.

（作者单位：襄阳职业技术学院）