不等式在求解函数的最值问题中的一些应用

陈芙蓉

摘 要 本文通过若干实例，介绍不等式在求解函数的最值问题中的一些应用。

关键词 不等式 实例 极值 应用

函数的极值不仅在实际中有重要的应用，而且也是函数性态的重要特征。在生产实践和科学实验中，我们常会碰到求函数的最大值或最小值的问题。学习了数学分析后，我们知道了根据费马定理有：可导函数 的极值点必是稳定点。

而在中学数学中就已出现求函数的最值问题，中学生对稳定点和导数还很陌生，无法理解和接受，这就要求我们在中学教学中更重视求解函数最值的另一种方法—利用不等式求解函数的最值。且不等式是数学基础理论的一个重要组成部分，它刻画了事物在数量上的不等关系。不等式的理论，是在有序集中数的顺序律和加法、乘法的单调率的基础上建立起来的，是中学学习内容中很重要的一部分，“学以至用”，利用不等式来求解函数的最值问题，不仅可简化解题过程，更可帮助学生掌握不等式。

一、利用二次函数的值域求最值

主要解题思路：求出函数在所给区间内的值域，从而得出最值。

例1 已知为实数，∣∣<2，求的最大值与最小值。

解：设 = ，由于∣∣<2，所以 = + >0。

即不论取何值，分母恒大于零。因此，去分母整理后得等价方程

+  +  = 0                                               ①

若≠0，①式可看作关于x的实系数二次方程。方程恒有实数根，当且仅当它的判别式⊿≥0，即⊿= =[I]≥0。

∵∣∣<2，∴2 ？>0。

∴≤≤                                                      ②

显然， = 0（此时 = ）也在不等式②的范围内。当 = 时，代入方程①，解得 =  +1。因此，当 =  +1时，原式的最大值为;当 =  1时，原式的最小值为。

二、用平均不等式求最值：由平均不等式≥可以推得

定理对于任意个正数、…，如果它们的和（设为）是定值，那么，当 =  = … = 时，积·…取最大值，最大值为 = ;如果它们的积（设为）是定值，那么，当 =  = … = 时，和 +  + … + 取最小值，最小值为 = 。

三、利用其它重要不等式求极值

例把一条长是l的铁丝截成三段，各围成一个正方形，怎样截法使得这三个正方形面积之和最小。

解：设三段长度分别为、、，则 +  +  = 1（定值），再设为三个正方形面积之和，则 =  +  +  = （ +  + ）

当且仅当 =  = 时等号成立。

因此，当 =  =  = 时， +  + 有最小值;从而最小 = · = ，即把铁丝截成相等的三段，各围成的正方形的面积之和为最小。

以上通过若干实例，介绍不等式在求解函数的最值问题中的一些應用。从而可得不等式的相关理论，在函数、方程、数列等各个方面，都有着重要的应用。

参考文献：

[1]王金战.轻松搞定高中数学：函数[M].外语教学与研究出版社，2010.

[2]苏勇，熊斌.不等式的解题方法与技巧[M].华东师范大学出版社，2012.

[3]范建熊.不等式的秘密[M].哈尔滨工业大学出版社，2014.

（作者单位：湖北省襄樊职业技术学院）