浅谈构造法解数学问题

栾江辉

[摘要]高中数学教学中，一切解题策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过解决新题，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的.基于这样的认识，从构造函数、构造空间几何体、构造函数三个方面讲述用构造法解决数学问题的优势.

[关键词]高中数学解题方法构造法

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）290041

构造法是数学教学中的重要思想方法.近观这几年的高考题，常可见构造法的踪影.用构造法解决问题实际上是一种“思维构造”的过程，是培养学生创造性思维能力的一种有效方法.下面介绍一些常用的构造方法.

一、构造辅助函数

由于函数的定义严谨、图像直观、性质内容丰富、实用性强，所以在研究一些问题时，可通过观察问题的特征，变更问题里相关的代数式，由此引入新的函数，从而解决问题.

【例1】已知函数f（x）=lnx.（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；（2）当02a（b-a）a2+b2.

分析：（1）过程略.f（x）=f（x+1）-x的最大值为0.

（2）这是函数和不等式的综合问题，利用函数最值证明不等式是常用的方法.于是，学生简单审题后会想到一种思路：把a，b其中一个看做是自变量x，构造函数，于是有以下解法.

解：令F（x）=lnb-lnx-

2x（b-x）x2+b2，∴F′（x）=-1x-2b3-4b2x-2bx2（x2+b2）2

.（化简过程略）

∵0F（b），原不等式得证.

很明显，此种构造函数的方法中间运算较繁琐，学生在解题中要么钻进“死胡同”，要么运算错误，要想准确无误地解出来比较困难.

思考1：能否变形转化，使构造的函数简单些呢？

思考2：注意到2a（b-a）a2+b2

<2ab-2a22ab=1-ab

，利用不等式的传递性，再构造函数.

评注：构造函数法因题而异，具有一定的创造性，需要一定的技巧.好的构造可以“四两拨千斤”.有的可以通过作差、作商法直接构造函数；有的根据特征类比构造函数；有的需要适当变形合理构造函数；有的需要等价转化间接构造函数.在教学时，要提醒学生注重审题，寻找适当的方法，加强学生思维的锻炼.

二、构造空间几何体

立体几何的研究对象是空间图形，其教学的首要目标在于培养和提高学生的空间想象力.因此，可以说立体几何的教学是始于构图，行于识图，止于用图.有些问题用直接法求解比较困难，甚至是无从下手，这时如果能依据题设条件，构造出符合要求的几何体，将已知嵌入其中，则可“柳暗花明”.

【例2】某几何体的一条棱长为7，在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为6的线段；在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为.

分析：根据题意及三视图知识，我们的脑海里可立即显现出一个长方体模型，其对角线l长为7，l在两个侧面和底面上的投影（即三个矩形的对角线）分别为6，a和b，则在设出长方体模型的棱长为x，y，z后，由x2+y2+z2=7，x2+y2=6，y2+z2=a2，x2+z2=b2，得到a2+b2=8，从而a+b≤2（a2+b2）=4.

评注：长方体是特殊的六面体，是立体几何中的基本几何体，其结构对称，各元素之间具有相等、平行、垂直等关系，内容丰富，是研究线线、线面、面面关系的一个特殊的几何体.若能够根据题意恰当地构造出长方体，则可达到事半功倍的效果.

三、构造数列

等差、等比数列作为特殊的数列，其结构比较特殊，若能很好地加以利用，就能化繁为简.比如，在解决一些三角求值试题时，虽然常规方法可解，但有时计算量比较大.若能根据试题的结构特征，构造出特殊的数列，则解题方法简捷，别具一格.

【例3】若cosα+2sinα=-5，则tanα=.

分析：本题是2008年全国高考试题，常规解法可以结合sin2α+cos2α=1，利用方程思想求解，但计算量较大.所以可以把2sinα，

-52，cosα

看成等差数列.设公差为d，从而可令cosα=-52+t，2sinα=-52-t，得（-54-t2）2+（-52+t）2=1，化简后，解得t=

3510

，故cosα=-55，sinα=-255

，因而tanα=2.

评注：本题根据给出条件的结构特征，通过类比联想，将条件式子重新整合为特殊的结构形式，使之转化为简单、熟悉的等差数列，将三角函数的求值问题转化为整式的求值运算.解题方法新颖，可谓别有洞天.另外，对于一些涉及正整数的不等式的证明问题，也可考虑构造数列.

（责任编辑钟伟芳）