探讨对角线互相垂直的平面四边形的面积

党泉元

[摘 要]从菱形的面积出发，运用对角线互相垂直的四边形的几何特征，得出对角线互相垂直的四边形的面积的简单解法，解决平面几何中的一些对角线互相垂直的四边形的面积问题.

[关键词]平面四边形 对角线 垂直 面积

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）320048

当我们学完菱形的相关知识后，知道菱形由四个全等的直角三角形组成，所以它的面积S=12·AC·BD（AC和BD为菱形的对角线长度），也就是说，菱形的面积等于对角线乘积的二分之一.这是因为菱形的对角线是互相垂直的.那么，任意对角线互相垂直的平面四边形的面积是不是都等于对角线乘积的一半呢？如果这一结论成立，将会很方便解决任意对角线互相垂直的平面四边形的面积求解问题.

笔者经过探究和证明，发现这个结论是成立的.

一、推理证明

1.对角线互相垂直的凸四边形的面积公式的证明

图1

【例1】 已知在凸四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，如图1所示.

求证：S四边形ABCD=12·AC·BD.

证明：在四边形ABCD中，AC⊥BD于E，∴S四边形ABCD=S△ACB+S△ACD

=12AC·BE+12AC·DE

=12AC·（BE+DE）

=12AC·BD.

2.对角线互相垂直的凹四边形的面积公式的证明

图2

【例2】 已知在凹四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于E，如图2所示.

求证：S四边形ABCD=12·AC·BD.

证明：在四边形ABCD中，AC⊥BD于E，

∴S四边形ABCD=S△ACB+S△ACD

=12AC·BE+12AC·DE

=12AC·（BE+DE）

=12AC·BD.

综上，可得出命题：任意对角线互相垂直的平面四边形的面积等于对角线乘积的一半.

二、命题应用

图3

【例3】 如图3，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，△AOB的周长为3+3，∠ABC=60°，求菱形ABCD的面积.

解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∠ABO=∠CBO.

因为∠ABC=60°，所以∠ABO=∠CBO=30°.

设AO=x，则AB=2x，BO=3x，

所以x+2x+3x=3+3，

即（3+3）x=3+3，

解得x=1.

所以OA=1，OB=3，

所以AC=2，BD=23，

所以S菱形ABCD=12AC·BD=

12×2×23=23.

图4

【例4】 高为a的等腰梯形ABCD的两条对角线互相垂直，垂足为O，求梯形ABCD的面积.

解：如图4，设等腰梯形ABCD的腰为AB、CD，则AB=CD，AC⊥BD，且OB=OC，

所以∠1=∠2=45°.

过点D作DE⊥BC于E，则△BDE为等腰直角三角形，可得BE=DE=a，

所以AC=BD=BE2+DE2=2a

，所以

S梯形ABCD=12AC·BD=12×2a·2a=a2

.

图5

【例5】 如图5，已知在△ABC中，BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=8，CE=12，求△ABC的面积.

解：连结DE，则四边形BCDE的面积为

12EC·BD=12×8×12=48.

又因为S四边形BCDE=34S△ABC，

所以S△ABC=48×43=64.

任意对角线互相垂直的平面四边形的面积都等于对角线乘积的一半.利用这个结论将很方便解决任意对角线互相垂直的平面四边形的面积求解问题.

（责任编辑 钟伟芳）