《课题学习 最短路径问题》教学设计

墙明

一、内容和内容解析

1.内容

利用轴对称研究某些最短路径问题

2.内容解析

最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。

本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力。

二、目标和目标解析

1.教学目标

能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识。

2. 教学目标解析

学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题;能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题;能通过逻辑推理证明所求距离最短;在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。

三、教学问题诊断分析

最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手。

对于直线异侧的两点，怎样在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点。但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路。

在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生想不到，不会用。

教学时，教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”。在证明“最短”时，教师可告诉学生，证明“最大”“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明。由于另取的点具有任意性，所以结论对于直线上的每一点（C点除外）都成立

本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

四、教学过程设计

1.创设问题情境

问题1   有一天，一位将军要从山峰A处出发，到河边饮马，然后到B地，请问到河边什么地方饮马可使他所走的路程最短？（图片略）

师生活动：学生回答，连接AB，线段AB与l的交点即为最佳饮马点。

【设计意图】让学生感受“两点之间，线段最短”，为把“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫。

2.将实际问题抽象为数学问题

问题2 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地。到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题。这个问题后来被称为“将军饮马问题”.

你能将这个问题抽象为数学问题吗？（图片略）

师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识：（1）将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线;（2）在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？

【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的概念。

3.解決数学问题（略）

4.证明AC +BC “最短”（略）

5.例题讲解（略）

6.归纳小结

教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题。

（1）我们本节课解决了什么问题？主要用到了什么数学知识？

（2）我们运用了什么数学思想呢？

师生活动：教师引导，学生小结。

【设计意图】：引导学生把握研究问题的基本策略和方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值。

7.布置作业