空间任意平面角的投影分析与研究

【摘要】本文通过建立数学模型，重点分析和研究了当平面角的两边与投影面均处于一般位置或虽有一边平行于投影面但不是直角时，其空间平面角与投影角之间的大小变化规律，为深入研究各种位置、各种大小的平面角在投影面上的投影与空间真实大小之间的关系提供了借鉴。

【关键词】平面角  投影分析

【中图分类号】TH12 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）11-0109-02

相交两直线所构成的夹角称为平面角。根据两直线与投影面所处的相对位置或两直线夹角的大小不同，其投影的大小也不同，可能大于、小于空间平面角，也可能等于空间平面角。从初等画法几何我们已经知道，当空间两相交直线均平行于某一投影面时，在该投影面上的投影角等于空间平面角;当两直线相交成直角，且其中有一条直线平行于某一投影面时，在该投影面上的投影角也是直角，即等于空间平面角[1]。那么当空间两直线与投影面处于一般位置时，其平面角与投影角之间又有怎样的关系，这就需要进行深入的分析和研究。

1.数学模型的建立

如图1所示，∠AOB为任意空间平面角，其中A、B分别为角的两边与H面的交点，∠aob为其在H面上的投影。为方便研究平面角的投影规律，我们先利用余弦定理建立平面角和其投影之间的数学模型。

为简化模型，设∠AOB=θ1，∠aob=θ，OA=R0，OB=r0，oa=R，ob=r，Oo=h。在△AOB中，AB2=r20+R20-2rRcosθ，在△aob中，ab2=r2+R2-2rRcosθ。

图1

因为，AB=ab所以r20+R20-2r■R■cosθ■=r2+R2-2rRcosθ  （1）

在△AoO中，R20=h2+R2   （2）

在△BoO中， r20=h2+r2     （3）

将（2）式和（3）式代入（1）式进行整理，便可得出θ1和θ之间的数学模型。

cosθ1=   （4）

2.平面角的投影分析

2.1平面角为锐角

当平面角为锐角时，cosθ1和cosθ均为正值。如要求θ1=θ，则由（4）式可得：

（h2+R2）（h2+r2）cos2θ=（h2+rRcosθ）2

=[h4+h2（R2+r2）+r2R2]cos2θ=h4+2h2rRcosθ+r2R2cos2θ

（R2+r2）cos2θ-2rRcosθ

=h2（1-cos2θ）=h2sin2θ

h=      （5）

上式即為h与r、R的关系式，它表明，任一由两向下倾斜直线所组成的一般位置平面角θ1（锐角），当h值满足（5）式时，空间角θ1等于其投影角θ。

将（5）式代入（2）、（3）式得：

R20=■;r20=■

即R01=，R02=  （6）

r01=，r02 （7）

但（5）式中，根式必为实数，可见r及R的值还必须满足以下条件：

（r2+R2）cos2θ-2rRcosθ≥0     （8）

当上式等于零时可求得：

r2cos2θ+R2cos2θ-2rRcosθ=0

即（rcosθ-R2）2-R2sin2θ=0

rcosθ=R（1±sinθ）

=

因此（8）式可写成：

--≥0

要满足（8）式，有以下两种情况。

（1）≥以及≥

在θ为锐角的情况下，满足前式必满足后式;

（2）≤以及≤

在θ为锐角的情况下，满足后式必满足前式;

因此，要使θ1=θ，值还必须满足下列不等式：

≤或≥ （9）

即不等式（9）为任一由两向下倾斜直线所组成的一般位置平面角（锐角）等于其投影角θ的必要条件。当R值给定，且值满足不等式（9）时，便可由（5）式求得h值的唯一解，这时θ1=θ。若h为其它值，或值不满足（9）式的条件时，θ1≠θ，该θ1值可由（4）求出。

2.2平面角为钝角

当平面角为钝角时，cosθ1及cosθ均为负值，若要满足（4）要求，则θ1≠θ，且θ1<θ。

图2

如图2所示，即∠AOB<∠aob，这说明当平面角为钝角时，且其两边都向下倾斜时，空间角必小于投影角。现延长AO至C，即使其一边向上，这时，∠COB=180°-∠AOB，是一个锐角。由于∠AOB<∠aob，则∠COB>∠cob，这就说明，若平面角为锐角，且两边之一向上倾斜时，则空间角必大于投影角。当平面角为钝角时，要使其与投影角相等，则可使该钝角的补角——锐角的两边都向下倾斜且满足式（5）、（9）。由以上分析可知，当平面角为钝角时，要使其与投影角相等，除满足式（5）、（9）外，角的一边必定向上倾斜。

根据上述分析，可得出空间一般位置平面角等于其投影角的一般规律。

要使由两向下（或向上）倾斜直线所组成的空间一般位置平面角θ1（0°<θ1<90°）等于其投影角θ，必须使其角顶的投影点到其两边与该投影面交点的距离r及R值之比满足不等式：

<或>

其角顶到投影面之距：

h=

当90°<θ1<180°，若其补角（180-θ1）满足上述条件时，θ1=θ亦成立。

2.3 h值的变化对空间角θ1的影响

当R及值给定且满足（9）式，便可得值h，使θ1=θ（0°<θ1<90°）。此时，若h值任意给定，则θ1≠θ。H值的变化对θ1值的影响可从图3进行分析。

图3

设位于H面内的AB线为一水平轴，将θ1角顶点O'0绕AB轴旋转至H面上得到O0，则∠AO0B反映θ1角的真实大小。不管h值如何变化，O'0、O'1…点旋转到H面上时，始终位于过O点且垂直于AB的直线OE上。现设O'0O=h，，满足（5）式要求，使θ1=θ，即∠AO0B=∠AOB，此时，A、B、O、O0四点共圆，如图4所示。

图4

当h1=O'0O>h时，θ2角顶O'1旋转至H面上时，将位于圆周外，如图4中的O1所示。由于∠BCA=θ=θ2+∠CAO1，因此θ2<θ。这表明，当h值变大时空间角θ2将小于投影角θ。

当h2=O'2Oθ。即当h值变小时，空间θ3角将大于投影角θ[2]。

3.几种特殊情况下的平面角的投影

3.1平面角的一边平行于投影面

如图7所示，空间平面锐角∠CKA=θA，其一边CK∥H面，其在H面上的投影角为∠cka=θa。

图7

过A点作AL⊥CK，则al⊥ck。由于tgθA=，tgθa=，而LK=lk，al=ALcos？琢（？琢为AL对面的倾角）。所以，al

如将一边延长，则∠CKB=∠θB为一钝角，其投影角为θb，由于θA+θB=θa+θb=180°，θa<θA，则θb>θB，即投影钝角大于空间平面钝角。由此可得出结论，当相交两直线所成的平面角为锐角或钝角，其中角的一边平行于某一投影面时，则其投影仍为锐角或钝角，但投影的锐角较空间的平面锐角为小，投影的钝角较空间的平面钝角为大。

如将CK边在过CD的铅垂面内转动至C1K的位置，即C1K向上倾斜，显然∠C1KA>∠CKA>∠cka，而这时D1K向下倾斜，显然∠D1KA<∠DKA<∠dka。

由此可得出如下结论：

（1）任意空间一般位置锐角，当其两边之一向上倾斜于投影面时，空间角必大于其在该面上的投影角。

（2）任意空间一般位置钝角，当其两边都向下或向上倾斜于投影面时，空间角必小于其在该面上的投影角。

（3）任意空间一般位置锐角，当其两边同时向下或向上倾斜于投影面时，能使空间角等于、大于或小于其在該面上的投影角。当空间角等于投影角时，若h值变大，则空间角必小于其投影角;若h值变小，则空间角必大于其投影角。

（4）任意空间一般位置钝角，当其两边之一向上倾斜于投影面时，能使空间角等于、大于或小于其在该面上的投影角。当空间角等于投影角时，若h值变大，则空间角必大于其投影角;若h值变小，则空间角必小于其投影角[3]。

3.2平面角的两边对投影面的倾角相等

如图8所示，平面角∠ADB的两边AD与BD对H面的倾角相等，即∠DAd=∠DBd，DC为∠ADB的角平分线，则dc为∠adb的角平分线。

图8

显然，rt△DdA≌rt△DdB

故DA=DB，da=db

因此，DC为等腰三角形ADB的高，dc为等腰三角形adb的高。

在△DCA中，AC=DCtg∠ADC

在△dca中，ac=dctg∠adc

因为AC=ac

所以DCtg∠ADC=dctg∠adc

又因为DC>dc，

所以tg∠ADC

亦即∠ADC<∠adc

所以∠ADB<∠adb

由此可得出结论，当平面角的两边对投影面的倾角相等时，其投影角一定大于空间平面角。

参考文献：

[1]郑国权.道路工程制图[M].北京：人民交通出版社，2002：1-366.

[2]于长江.高等画法几何[M].北京：北京航空学院出版社，1983：1-129.

[3]史宛丽.段心正.平面角投影基本特性的研究[J].工程图学学报，2008，增刊：41-47.

作者简介：

张世海（1964.12-），甘肃白银人，副教授，工学学士，主要研究方向道路桥梁、工程图学和计算机绘图。