微分中值定理中命题结论只含一个中值的三种证明题型

刘立汉

摘 要：本文分析了微分中值定理命题结论只含一个中值的三种证明题型，总结了相对比较实用的思路及方法，从而为以后相关的证明提供了一个明确的方向或技巧.

关键词：微分中值定理；一个中值；证明.

【中图分类号】O172

微分中值定理是微分学的基本定理，包括罗尔（Rolle）定理（见[1]，[2]，[3]，[4]）、拉格朗日（Lagrange）中值定理（见[1]，[2]，[3]，[4]）和柯西（Cauchy）中值定理（见[1]，[2]，[3]，[4]），它是沟通函数与其导函数之间的桥梁，在数学分析和高等数学等数学课程中有着广泛的应用.

一、所证命题形如

例1（见[5]，[6]） 设函数 在闭区间[0， 3]上连续，在开区间（0， 3）内可导.又 ， ，证明：至少存在一个 ，使得 .

证明 因为函数 在闭区间[0， 3]上连续，于是由最值定理可知：函数 在闭区间[0， 3]上存在最大值 与最小值 ，从而 ，根据题意 ，于是 ，又由介值定理可知：至少存在一点 ，使得 ；又根据题意 ，于是 ；再由罗尔定理可知：至少存在一个 ，使得 .

例2（见[5]，[6]） 设函数 在闭区间[a， b]上连续，在开区间（a， b）内二阶可导，连接点 的直线与 相交于点 ，证明：至少存在一个 ，使得 .

证明 根据题意函数 在闭区间[a， b]上连续，在开区间（a， b）内二阶可导，于是由拉格朗日中值定理可知：至少存在一个 ，使得 ；又根据题意 、 、 三点位于同一直线上，于是 ；再根据题意函数 在开区间（a， b）内二阶可导，由罗尔定理可知：至少存在一个 ，使得 .

二、所证命题中函数导数差一阶

例3（见[5]，[6]） 若函数 在闭区间[0， 1]上连续，在开区间（0， 1）内可导， ，证明：至少存在一个 ，使得 .

分析

证明 构造函数 ，根据题意 ，于是 ，由罗尔定理可知：至少存在一个 ，使得 ；又由 ，于是 ，即 .

例4（见[5]，[6]） 若函数 在闭区间[0， 1]上连续，在开区间（0， 1）内二阶可导， ，证明：至少存在一个 ，使得 .

分析

证明 构造函数 ，于是 ；又根据题意 在闭区间[0， 1]上连续，在开区间（0， 1）内二阶可导， ，由罗尔定理可知：至少存在一点 ，使得 ，即 ，从而 ，再由罗尔定理可知：至少存在一个 ，使得 ，又由 ，于是 ，即 .

三、所证命题中函数导数差二阶及以上

例5（见[5]，[6]） 若函数 在闭区间[0， 1]上连续，在开区间（0， 1）内二阶可导， ， ，证明：至少存在一个 ，使得 .

证明 根据题意 在闭区间[0， 1]上连续， ， ，由零点定理可知：至少存在一点 ，使得 ；先构造函数 ，于是 ，由罗尔定理可知：至少存在一个 ，使得 ，又由 ，于是 ；再构造函数 ，于是 ，再由罗尔定理可知：至少存在一个 ，使得 ，又由

，即 .

参考文献

[1] 欧阳光中， 朱学炎， 金福临， 陈传璋， 数学分析（第三版， 上册）， 北京：高等教育出版社， 2006.

[2] 欧阳光中， 朱学炎， 金福临， 陈传璋， 数学分析（第三版， 下册）， 北京：高等教育出版社， 2006.

[3] 同济大学数学系， 高等数学（第六版， 上册）， 北京：高等教育出版社， 2007.

[4] 同济大学数学系， 高等数学（第六版， 下册）， 北京：高等教育出版社， 2007.

[5] 汤家凤， 高等数学辅导讲义， 北京：中国原子能出版社， 2013.

[6] 钱吉林， 数学分析题解精粹， 武汉：崇文输局， 2009.