与圆锥曲线焦点弦斜率有关的定值问题再探究

薛燕

【摘要】圆锥曲线在高考数学中占据着举足轻重的地位，而关于圆锥曲线定值问题一直是高考命题中的一大热点.文[1]从2013年山东卷理科22题第（3）问出发，推广得到了圆锥曲线一个统一的性质.拜读文[1]后，笔者深受启发，将其结论进行了深入推广，研究了圆锥曲线的切线及特殊割线的斜率与焦点弦斜率之间的定值问题，得到了一系列美妙的结论.

【关键词】圆锥曲线；定值；斜率

一、问题再现

椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2.设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2.若k≠0，试证明1kk1+1kk2为定值，并求出这个定值.

此题是2013年山东卷理科第22题，这道题以椭圆为载体，考查了直线与圆锥曲线的位置关系、两点间距离公式、点到直线的距离公式和换元法等知识，同时考查了数学探究能力.题目设计新颖，内涵丰富，是研究性学习的好素材.文[1]对第（3）问进行了推广，得到以下结论.

定理1 设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点.连接PF1，PF2，过点P作斜率为k的直线l，使得直线l与椭圆C相切，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，则1k·k1+1k·k2为定值-2a2b2.

定理2 设双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C上除实轴端点外的任一点.连接PF1，PF2，過点P作斜率为k的直线l，使得直线l与双曲线C相切，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，则1k·k1+1k·k2为定值2a2b2.

上述两个定理亦可以推广到抛物线，得到以下结论.

定理3 设抛物线C：y2=2px（p>0）的准线交x轴于F1，焦点为F2.点P是抛物线C上除顶点外任一点.过点P作斜率为k的直线l，使得直线l与抛物线C相切，则1k·kPF1-1k·kPF2为定值1.

二、探究推广

探究1：以上三个定理揭示了圆锥曲线切线的斜率与焦点弦的斜率之间存在定值关系.自然而然，我们会思考圆锥曲线割线的斜率与焦点弦的斜率之间是否也存在某种定值关系呢？显然，若是任意割线的斜率与焦点弦的斜率之间很难找到定值关系.笔者借助TInspire CAS图形计算器，将圆锥曲线的割线特殊化，探究过焦点的割线斜率与焦点弦的斜率之间是否存在某种定值关系呢？

探究2：因抛物线只有一个焦点，定理4、5不能在抛物线中推广.但笔者觉得意犹未尽，再次思考，还有哪些特殊割线的斜率与焦点弦的斜率存在定值关系呢？通过借助TInspire CAS图形计算器，在图形中拖动割线l的位置，考虑用准点（规定圆锥曲线的准线与对称轴的交点叫准点）代替焦点，研究当割线经过圆锥曲线准点时的情况，是否存在割线斜率与焦点弦斜率之间的定值关系呢？

定理6 设圆锥曲线Γ（焦点在x轴）的离心率为e，焦点F所对应的准点为G（规定在椭圆或双曲线中左（右）焦点对应左（右）准点），斜率为k（k≠0）的直线l经过圆锥曲线Γ的准点G，并交圆锥曲线Γ于P，Q两点，则1e2-k2·kkPF-kkQF为定值2.

上述定理证明方法与定理4类似，限于篇幅，不赘述.

探究3： 上述定理研究了割线经过准点的情况.固然，焦点和准线是圆锥曲线最本质的两个几何要素，而类焦点、类准线知识为我们探索圆锥曲线的性质提供了一个新的视角.笔者运用类焦点、类准线的知识将上述定理6又作了进一步推广.

我们将点F（t，0）、直线l：x=a2t称为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）和双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的类焦点、类准线（椭圆中0<|t|a），相应的点Ga2t，0称为类准点；将点F（t，0）、直线l：x=-t（t>0）称为抛物线y2=2px（p>0）的类焦点、类准线，相应的点G（-t，0）称为类准点.

定理7 已知定点F和定直线l是圆锥曲线Γ（焦点在x轴）的一对类焦点和类准线，过类准点G作斜率为k（k≠0）的割线交圆锥曲线Γ于P，Q两点，则

（1）当圆锥曲线Γ为椭圆时，1b2t2-a2（a2-t2）k2·kkPF-kkQF为定值2ab；

（2）当圆锥曲线Γ为双曲线时，1b2t2+a2（a2-t2）k2·kkPF-kkQF为定值2ab；

（3）当圆锥曲线Γ为抛物线时，1p-2tk2·kkPF-kkQF为定值2p.

三种圆锥曲线统一的定义（平面内到定点与定直线距离的比为常数e的点的轨迹）揭示了它们内在本质联系；而对三种圆锥曲线如法炮制的研究方法，部分类似相通的几何性质正是内在联系显现的外在统一.圆锥曲线内在的和谐统一决定了它们还有更多优美的性质等待我们去探究与挖掘.

【参考文献】

[1]王锋峰，戚有建.关于2013年山东卷理科压轴题的思考[J].数学学习与研究，2014（6）.