巧合还是必然

芦洪兴

2014年泰州市中考数学压轴题第26题，是以双曲线为背景的一道综合题，题目如下：

平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在函数y1=4x（x>0）与y2=-4x（x<0）的图像上，A，B的横坐标分别为a，b.

（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；

（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；

（3）作边长为3的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y1=4x（x>0）的图像都有交点，请说明理由.

（备用图）

从对学生解答本题的最后情况来看，第（1）问解决比较顺手，主要考查双曲线解析式中比例系数k的几何特征：由双曲线y=kx（k≠0）上任意一点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为点B、点C，则S矩形ABOC=k，S△ABO=S△ACO=k2.

解 （1）如图2，设AB交y轴于C，连接OA，OB.

∵AB∥x轴，∴AB⊥y轴于点C.

∴S△OAC=12×|4|=2，S△OBC=12×|-4|=2，S△OAB=S△OAC+S△OBC=4.

千萬别小看第（2）问，条件是大家比较熟悉的情境：△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且仅有一种情况，就是OA=OB.但就是这样一个看似简单，下手也比较容易的问题，学生感觉比较棘手，解答不顺的原因是利用OA=OB和a+b≠0如何得出ab的值.因此有相当一部分学生在第（2）问开始遇到障碍，放弃解答.

但是，从我调查统计后的情况看，有一部分学生得到了正确的答案，但是他们的思考过程有问题，或者仅仅是巧合.他们的思考过程如下：

如图3，设点A（a，4a），点B（b，-4b），当OA=OB且a+b≠0时，OA⊥OB.

由点A（a，4a）可得直线OA的解析式为y=4a2x，

由点B（b，-4b）可得直线OB的解析式为y=-4b2x.

根据OA⊥OB可得4a2·-4b2=-1，解得ab=±4.

因为a>0，b<0，所以ab=-4.

纵观整个思考过程，学生的思维还是积极的，尤其是运用了初中知识不需要掌握的一个重要结论：平面内的互相垂直的两根直线y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，则k1·k2=-1.学生也是有猜想和发现的，就是当OA=OB且a+b≠0时，OA⊥OB.有一个最大的漏洞就是：当OA=OB且a+b≠0时，OA⊥OB 成立吗？反过来，当OA⊥OB时，OA=OB且a+b≠0成立吗？

下面我们就来探究上述两个问题：

问题1：点A，B分别在函数y1=4x（x>0）与y2=-4x（x<0）的图像上，A，B的横坐标分别为a，b.当OA=OB且a+b≠0时，OA⊥OB是否成立？

如图4，作出以OA或OB为半径的⊙O，作出双曲线y2=-4x在第四象限的另外一支，⊙O与双曲线y1=4x和y2=-4x分别有交点E，D，C.显然，当OE=OB且a+b=0时，即如图中的B，E两点，此时B，E两点关于y轴对称，同样图中的A，D关于x轴

对称，故∠1=∠2，∠5=∠4.

由图中的E、C两点关于x轴对称可知∠3+∠4=∠5+∠6，

故∠3=∠6.

由图中的双曲线y1=4x上的E，A两点关于直线y=x对称可知，∠2=∠4，故∠1=∠2=∠5=∠4.

由图中的双曲线y2=-4x上点B，C关于原点O对称可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°，故∠1+∠2+∠3=90°，即OA⊥OB.

从图中还可以发现：OA⊥OC，OD⊥OE.

问题1告诉我们：关于y轴（或x轴）对称的两支双曲线上分别取一点，如果这两点到原点的距离相等，且横坐标不互为相反数，则这两点与原点的连线互相垂直.

问题2：点A，B分别在函数y1=4x（x>0）与y2=-4x（x<0）的图像上，A，B的横坐标分别为a，b.当OA⊥OB时，OA=OB且a+b≠0是否成立？

借助于图3学生的思考过程可以发现，当OA⊥OB时，ab=-4.如果取a=2，b=-2，则ab=-4，此时a+b=0.

由点Aa，4a，Bb，-4b可得OA2=a2+16a2，OB2=b2+16b2.

因为ab=-4，故a2=16b2，b2=16a2，所以OA2=OB2，OA=OB.

问题2告诉我们：关于y轴（或x轴）对称的两支双曲线上分别取一点，如果这两点与原点的连线互相垂直，则这两点到原点的距离必相等，但横坐标可能互为相反数，也可能不互为相反数.

其实，解决问题（2），学生只要会利用OA=OB这个条件进行等式变形，完全可以绕开上述问题，就可以顺利解决.

过程如下：由点A（a，4a），B（b，-4b）可得OA2=a2+16a2，OB2=b2+16b2.

因为OA=OB，OA2=OB2，所以a2+16a2=b2+16b2.

移项变形得：（a2-b2）+16（b2-a2）a2b2=0，（a2-b2）1-16a2b2=0.

因为a+b≠0，a≠b，故a2-b2≠0，所以1-16a2b2=0，a2b2=16，ab=±4.

因为a>0，b<0，所以ab=-4.

至于问题（3），只要作出符合题意的正方形，说明当a≥4时CD边与函数y1=4x（x>0）的图像的交点在边CD上，或者直接说明交点的纵坐标在C，D两点的纵坐标之间，其实是比较代数式大小的问题，是代数推理，不赘述了.

一个解题漏洞，引出两个猜想，对这些猜想的处理，如果漫不经心，或者不深入研究，教师轻易判断学生的思维方向错误，是扼杀学生创造性思维的行为，是不负责任的行为.教师要善于抓住学生解题中的漏洞，帮助学生提高思维的深刻性、系统性、全面性，切不可草率了事.说到底，要以学生为主体，学生的想法不成熟，教师帮助指导成熟.这样，学生学习数学的兴趣就完全可以激发起来，学生学习数学思维积极了、思维深刻了、思维活跃了，不正是数学教师教数学的根本目的吗？