浅谈抽象函数的性质

田钰

【摘要】抽象函数指一类只给出具有某类特征或性质，用一种符号表示的函数，这类函数没有给出或没有具体的函数解析式，是高中函数部分的重要知识点，也是高考的一个热点.学生在此之前已经对函数的对称性和周期性有了初步的理解，但是认识比较肤浅，缺乏全面深入的研究.

【关键词】高中数学；函数；单调性

抽象函数指一类只给出具有某类特征或性质，用一种符号表示的函数，这类函数没有给出或没有具体的函数解析式，是高中函数部分的重要知识点，也是高考的一个热点.做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.由于抽象函数的抽象性和隐蔽性，让大多数学生感到无从下手，本文对抽象函数的性质进行了详细的归纳小结，有助于从总体上把握抽象函数的性质.

一、抽象函数的定义域

解决抽象函数定义域问题，必须明确抽象函数的定义，运用整体等价转化的思想.

若函数f（x）的定义域为[-1，2]，则函數f（x-1）的定义域为.

分析 由题意知-1≤x-1≤2，求出x的范围并用区间表示，是所求函数的定义域.

解 ∵函数f（x）的定义域为[-1，2]，∴-1≤x-1≤2，解得0≤x≤3.∴所求函数的定义域是[0，3].

点评 本题的考点是抽象函数的定义域的求法，有两种类型：

1.已知f（x）定义域为D，则f（g（x））的定义域是使g（x）∈D有意义的x的集合；

2.已知f（g（x））的定义域为D，则g（x）在D上的值域，即为f（x）定义域.

二、抽象函数的值域

求解抽象函数的值域首先明确值域由定义域和对应法则决定，然后结合抽象函数的其他性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）进行求解.

例2 已知定义在R上的奇函数f（x）满足2x=a1-f（x）-1，则f（x）的值域是.

分析 先由f（x）为奇函数求出a，得到f（x）表达式，由2x>0及函数的单调性可求出f（x）的值域.

解 由2x=a1-f（x）-1，得f（x）=1-a[]2x+1.因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0.所以0=1-a2，解得a=2，f（x）=1-2[]2x+1.因为2x>0，所以0<2[]2x+1<2，-2<-2[]2x+1<0，-1

点评 本题考查函数的奇偶性、函数解析式的求法，属于基础题，难度不大.

三、抽象函数的单调性

解决抽象函数问题单调性问题，可以紧扣基本定义（作差或作商），进行合理的拼凑即可解决问题.

例3 对于函数f（x）=a-2[]2x+1（a∈R），探索函数f（x）的单调性.

分析 （1）设x1

解 （1）∵f（x）的定义域为R，设x1

∵x10.

∴f（x1）-f（x2）<0，

即f（x1）

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，熟练掌握函数单调性的定义是解答的关键.

四、抽象函数的奇偶性

解抽象函数奇偶性问题时，一定要先考察其定义域是否关于原点对称，然后紧扣奇偶性定义进行合理的赋值，即可求解问题.

例4 若函数f（x）对一切x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）.

（1）试判断f（x）的奇偶性；

（2）若f（-3）=a，用a表示f（12）.

分析 （1）判断f（x）奇偶性，即找出f（-x）与f（x）之间的关系，∴令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故问题转化为求f（0）即可，可对x，y都赋值为0.

（2）由于知晓f（-3）=a，故解本题关键是找出f（12）与f（-3）之间的关系，注意用（1）的结论.

解 （1）显然f（x）的定义域是R，关于原点对称.又∵函数对一切x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0.再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），∴f（-x）=-f（x）.∴f（x）为奇函数.（2）∵f（-3）=a且f（x）为奇函数，∴f（3）=-f（-3）=-a.又∵f（x+y）=f（x）+f（y），x，y∈R，

∴f（12）=f（6+6）=f（6）+f（6）=2f（6）=2f（3+3）=4f（3）=-4a.

故f（12）=-4a.

点评 本题考点是抽象函数及其性质，在研究其奇偶性时本题采取了连续赋值的技巧，这是判断抽象函数性质时常用的一种探究的方式，在第二问的求值中根据恒等式的结构把已知用未知表示出来，做题时注意体会抽象函数恒等式的用法规律.

我们研究抽象函数主要从抽象函数的概念和性质进行研究，可类比初等函数的学习方法进行学习，虽然抽象函数的抽象性和多边性使得抽象函数的求解非常困难，但事实上抽象函数与诸多基本函数的性质有着非常紧密的联系，只要在解题过程中不断地进行归纳和总结，挖掘其中的隐含条件，运用以上归纳的策略进行求解，可达到事半功倍的效果.