化曲为直，以弧为桥梁，解决圆中问题

杜美玲

【摘要】圆是一种特殊的曲线，也是学生在初中阶段的学习中可求的长度（即弧长、圆周长），可进行加减或等量转化的一种曲线，它有别于函数图像如双曲线、抛物线等.圆虽然为曲线形的平面几何图形，但它与直线图形却有密不可分的联系，初中教材在圆这一章节中主要从几何角度研究圆这一曲线型图形与直线型图形的关系.

【关键词】化曲为直；解决；圆中问题

根据把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合这一几何性质得到定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.并且还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.因此，在同一个圆中，只要弧、弦、圆心角三组量有一组相等就能推出其余两组量相等.还有圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角都相等，都等于圆心角的一半.这两个定理是初中阶段圆的学习中很重要的两个定理.这里，弧是学生接触到的第一种可量化的曲线，它在这一定理中起到重要的桥梁作用，我们可以将圆的有关问题中相等的弦或角转化成等弧，再由等弧推得等弦或等角，便能找到解题思路.

学生在解决圆的相关问题时，若能利用圆中曲线的特殊性，找到关键的弧，化曲为直，以弧为桥梁，便能有效解题.

图 1例如：如图1， AB是⊙O的直径，弦 AC 为6 cm，∠ACB 的平分线交⊙O于 D，弦BD为52cm，.求AB，BC的长.

解决本题时，从角平分线入手得到相等的圆周角∠ACD=∠BCD，将等角转化为等弧，即AD=BD，这时等弧可推得等弦AD=BD，便得到等腰直角△ABD求出AB=10.此外，也可将等弧推得等角∠BAD=∠ABD=45°得到等腰直角△ABD，解决该题.

我们将圆中的等角（圆心角或圆周角）转化为等弧，再将等弧转为等弦或等角（圆周角或圆心角），以弧为桥梁能够有效解决圆中的有关问题.下面再具体分两类举例说明.

图 2（一）将等弧转化为等弦

例1 如图2，在⊙O中，AD=CB，AB=5 cm，求CD的长.

本题学生在求解过程中倾向于利用全等证明AB=CD，如利用角角边证明△AED≌△CEB来得到AE=EC及DE=BE，再利用等量相加得到AB=CD.但對于全等证明方法掌握不够牢固的学生来说，他们容易连接BD来证明△ABD≌△CDB，得到AB=CD，这部分学生犯了用边边角证明三角形全等的错误方法导致整题错误.更有甚者，在连接BD后默认其为直径导致进入解题误区.在解决这道题时，学生若能懂得在圆中处理弧的等量转化，即：∵AD=CB，∴AD+AC=CB+AC，得到DC=AB，再利用弧弦转化，将等弧转化为等弦AB=CD便能绕过全等更快地得出解答.

例2 已知A，B，C，D是⊙O上的四个点.

（1）如图3，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；

（2）如图4，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径.

图 3 图 4 图 5

在第二问的求解中，要求⊙O的半径，很自然地需要作直径DE，如图5，并构造直径所对的圆周角来得到直角三角形以便求出直径.但学生在处理直角△ECD时仅仅知道DC一条边的长度，未能求出斜边直径的长度，许多学生因此卡在这里无法解决该题.这时，根据已知条件AC⊥BD，再结合∠DBE=90°可以发现BE∥AC，从而得到相等的弧AB=EC.利用弧弦之间的转化，将等弧转化为等弦，即EC=AB=2，很快可用勾股定理求得直径DE的长.

在解题时寻找起到关键作用的弧，将等弧转化为等弦，是解决圆有关问题的一个有效方法，因此建议教师在圆的章节教学时，注意引导学生发现题中的等弧，渗透弧弦之间的联系，在圆中以弧为桥梁，化曲为直解决相关边长问题.

（二）将等弧转化为等角

除了求边长的类型题外，圆中求角的问题也可利用弧为桥梁来解决，圆周角定理及逆定理的使用正是这一思想方法的体现.因此，在圆中遇到求角度的问题时，若能弧相等与角相等联系起来，抓住关键的弧，转化为相应的角就能很好地解决求角度的问题.下面举例说明，利用弧为桥梁，解决圆中求角的问题.

图 6例3 如图6，在⊙O中，弦AC和BD相交于点E，AB=BC=CD，

若∠BEC=110°，则∠BDC=（ ）.

A.35° B.45°

C.55° D.70°

解决本题时可利用同弧或等弧所对的圆周角都相等这一结论标出图中相等的角，即∠BDC=∠CAB=∠CBD=∠ACB，再通过已知条件∠BEC=110°，在△CEB中解得∠CBD=∠ACB=35°，由此得出答案A.

图 7例4 如图7，AB是⊙O的直径，C，D，E都是圆上的点，则∠1+∠2=.

解决本题时，∠1和∠2的度数并不好求，因此若能先找到∠1和∠2所对的弧AE和EB，发现两弧之和是一个半圆，从而根据半圆所对圆周角为90°就能得到∠1+∠2=90°.图 8图 9

例5 如图8，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，AD=CD，若∠DAB=55°，求∠DAC的值.

解决本题时利用以弧为桥梁的思想，找到要求的∠DAC所对的CD及其相等的AD来寻求解题思路.构造AD所对的圆周角∠ABD，如图9，利用直径所对的圆周角为90°，在Rt△ADB中求得∠ABD=35°，再利用等弧所对的圆周角相等得到要求的

∠DAC=35°.

此外，在构造正多边形时，只要将圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，也正是以弧为桥梁这一思想的重要体现，通过等分圆来得到各边都相等，各角也相等的正多边形.

教师在初中阶段圆这一章节的教学中，若能注重培养学生对弧的认识，让学生看到圆中的弧，接受弧，并利用弧，以弧为桥梁带动解题思路，熟练掌握等弧转化为等弦，等弧转化为等角的方法，就能使学生更好地掌握圆这一曲线图形与直线图形之间的联系，解决圆中的有关问题.