初中数学教学中方程函数思想的渗透

袁文军

方程与函数是初中数学教学中的基础内容，同时也是数学教学的重点内容. 而方程函数思想作为众多数学思想中的一种，其可以简化复杂或难度较大的数学问题，使学生明确解题思路，从而有助于学生找到正确的解题方法. 方程思想就是以待求问题数量之间的关系为依据，借助题目所提供的各种已知条件来将问题转化为特定的方程，进而通过求解特定的方程来达到解决问题的目的. 函数思想则是通过对于问题中各种关系的分析与对比来将待求问题转化为与函数有关的问题，进而通过求解函数问题来达到解决待求问题的目的. 本文从方程函数思想的形成入手，就其在初中数学中的渗透与应用进行了详细的分析和研究.

1. 方程函数思想的形成

方程函数思想作为一种重要的数学解题思想，其对于学生学习数学以及其数学能力的提高具有重要的作用. 而就培养学生方程函数思想的具体手段而言，其可以从以下几个方面着手努力：

1.1 夯实数学基础，提高学生认识

数学教师在平时的数学课堂教学过程中要增强学生对于数学基础知识的认识度，提高学生对于不等式、函数以及方程等内容运用的灵活度. 只有这样，才可以使学生在实际的解题过程中更加快捷、方便地应用方程函数思想.

1.2 培养学生方程函数思想意识

数学教师在日常的数学教学过程中除了要教授给学生必要的数学思想外，还需要注重培养学生的方程函数思想意识，使学生可以挖掘有关数学问题题目中所隐含的一些条件，从而达到构建有关函数或方程来解决数学问题的目的. 此外，数学教师在教授给学生有关的数学解题方法的同时，也要注重提高学生的逻辑思维、发散思维以及观察能力.

1.3 提高学生创新思维能力

数学思想通常具有适用性广，即它不仅仅局限于数学的某一部分内容，而是适用于数学各个方面的知识，只有提高学生的创新思维能力，才可以使学生在实际的解题过程中做到举一反三、触类旁通，从而将数学有关方面的定理、方法、技巧和公式做到灵活运用.

2. 初中数学教学中方程函数思想的具体应用

2.1 利用方程或方程组解决有关数学问题

“鸡兔同笼”问题是一道经典的数学习题，如现有正常鸡兔若干只共存于同一笼子，共有70只脚，25个头，求该笼子中鸡、兔各有多少只？

解析：该道例题是一个典型的“鸡兔共笼”问题，主要涉及题目中所含有的数量问题. 通过对于题目中隐含的数量关系进行分析，我们发现可以通过采用建立方程（组）的方式来达到简化问题的目的，下面就该道例题的具体方法进行详细的阐释.

解法一，建立方程. 假设该笼子中兔子的数量为x只，则笼子中所含有的鸡的数量为（25 - x）只，则可建立如下方程：4x + 2（25 - x） = 70，解得：x = 10，所以该笼子中有10只兔子，15只鸡.

解法二，建立方程组. 假设该笼子中兔子的数量为x只，鸡的数量为y只，则可建立如下方程组：x + y = 25，4x + 2y = 70，解得：x = 10，y = 15，所以该笼子中有10只兔子，15只鸡.

2.2 利用函数来解决有关方面的数学问题

王明自己开了一家特制体育用品专卖店，他所销售的每个篮球的进价为80元，经过大量的销售统计之后，王明发现篮球每月的销售数目y与每个篮球销售价格x之间具有一定的函数关系，即：y = -5x + 100. 如果王明每个月销售所获得的利润为M，那么王明应该将每个篮球的定价标为多少，他才可以从中获得最大的销售利润？

解析：该道数学题目是一个典型的函数问题，通过对于题目中已知条件的分析、归纳和整理，可以建立一定的函数关系，从而通过求解函数问题来达到解决问题的目的，下面就该道例题的具体方法进行详细的阐释.

解：由题意得，王明所获得利润M可以用下面的方式来加以表示，即：M=（x - 80）（-5x + 600） = -5x2 + 1000x - 48000，根据二次函数的性质可以知道，当且仅当x = ■ = 100，即当单价标为100元/个时，王明可以获得最大的月收益.

2.3 利用函数与方程之间的相互转化来解决有关方面的数学问题

方程函数思想不仅包括方程思想和函数思想，同时也包含函数与方程二者之间相互转化的思想. 而二者之间相互转化的思想对于某些类型的数学问题具有极佳的适用性，可以达到简化计算的目的. 下面就该方法的具体应用以实例加以阐述.

求使方程x2 - 3x + k = 0的根满足一个大于1，一个小于1的k的取值范围.

解析：要求方程x2 - 3x + k = 0的根满足特定的条件，实际上也就是求使函数y = x2 - 3x + k取值为0的自变量的取值，也可以理解为函数y与x轴的交点，从而使方程根的问题转化为与函数有关的数学问题，达到简化计算的目的，下面就该道例题的具体方法进行详细的阐释.

解：要求方程x2 - 3x + k = 0根的取值情况，实际上就是求函数y = x2 - 3x + k取值为0的自变量的值，也就是二次函数y与x轴的交点. 根据二次函数的性质，我们可以轻易地知道当x = 1，y < 0的时候，x2 - 3x + k = 0的根满足一个大于1，一个小于1，也就是说，-2 + k < 0，由此可知：当k < 2时，方程的根满足特定的条件.

总之，方程函数思想是一种有效的数学思想，其可以简化数学问题，提高学生分析、解决数学问题的能力，培养学生的逻辑思维和创新思维.