有理系数多项式在Q上的可约性研究

舒伟前

【摘要】有理系数多项式在有理数域Q上的可约性判别是一个比较复杂的问题.本文从有理系数多项式的次数n出发，利用Eisenstein判别法及其推广形式，例谈了有理系数多项式在Q上的可约性问题.

【关键词】有理数域多项式；Eisenstein判别法；素数；可约性

一、引言

多项式是大学线性代数课程中不可缺少的重要内容之一，有理系数多项式在有理数域Q上的可约性问题更是多项式这部分的重点，也是学生学习的难点.原因其实很简单： 在有理数域Q上，一方面存在任意次数的不可约多项式，另一方面没有一个统一有效的方法来研究Q上有理系数多项式的可约性.本文将以Q上有理系数多项式的次数为主线，借助Eisenstein判别法及其推广形式，针对不同的情形，通过若干具体的例子，来阐述Q上有理系数多项式的可约性问题.

有理数域上次数大于等于1的多项式f（x）称为Q上的不可约多项式，如果它不能表示成有理数域Q上的两个次数比f（x）的次数低的多项式的乘积.否则，则称多项式f（x）在有理数域上可约.众所周知，对有理系数多项式f（x），如果其系数不全是整数，那么以f（x）的系数的分母的一个公倍数k乘以f（x），就得到一个整系数多项式f（x）.显然，多项式f（x）与f（x）在Q上同时可约或同时不可约.因此，我们只需讨论整系数多项式在Q上的可约性问题.