浅析在线性代数中的反例和反证法

张少波

【摘 要】 線性代数是理工科最为基础的一项基本学科，学习的进程中，反例法和反证法在一定程度上可以加深学生对某些知识的理解，从而降低学生对其掌握的难度，是一种比较具有说服力的方法。

【关键词】 线性代数;反例法;反证法

【中图分类号】G64.23 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）15-000-01

线性代数在高校教育中针对理工科学生是一门必修课，学好线性代数这一门课可以说是很重要的一件事情，而本文针对线性代数中的反例和反证法进行了讨论，从而通过这种方式来帮助大家对学习中遇到的某些难题进行有效的解读，进而提高学生学习线性代数的兴趣。

一、反例在线性代数中的应用

1.反例的实质

反例就是满足某个问题的已知条件，而又不满足该问题结论的例子，可以明显的判断出该问题结论不成立，也就是说，反例是用来说明某个问题结论不成立的例子。在线性代数中，结合反例可以加深对某些结论、命题的理解。

2.反例的应用举例

线性代数中有很多的结论与中学代数所学结论不同，学生在学习过程中对这些结论的理解不是很透彻，在此结合反例可以加深学生对这些结论的理解，使线性代数的学习变得更加有趣，更能拓展学生的思维。

例1.

该结论不成立。反例：设、，我们可求得，而，显然，，所以该结论不成立。而我们不难验证。

例2.若、均不可逆，则也不可逆。

该结论不成立。反例：设、，显然与均不为零，所以，、均不可逆，而，，所以可逆，所以该结论不成立。

例3.与一个矩阵相似的矩阵是不是唯一的？

不唯一。反例：设、、，容易得出、都是可逆的，并且，，于是有：

，所以与相似，

，所以与相似，

可见，与一个矩阵相似的矩阵不是唯一的。

在反例法中，要明确自己所做的反例的目的，在做反例的过程中，也可以对所学知识进行加深和巩固，培养学生的逆向思维，激发学习兴趣，从而达到更好的教学效果。

二、反证法在线性代数中的应用

1.反证法的实质

反证法是一种从相反方向证明的方法，它是先假设在已知条件下所给的结论不成立，进而从假设推导出与已知条件或假设明显矛盾的结果，从而得出原有结论成立过程。利用反证法可以使一些结论的证明简单易懂，在唯一性、否定性等命题中，反证法的应用尤其多见。

2.反证法的应用举例

线性代数学习的一大难点就是定理与结论较多，而对定理与结论的证明很多学生感到很难，与反例类似，从反方向入手，利用反证法来进行证明可以说简单易懂，从而降低了证明的难度。

例4.若方阵可逆，则它的逆矩阵是唯一的。

证明：假设的逆矩阵不唯一，即、都是的逆矩阵，且，则由逆矩阵的定义可知：，，所以：，即，与假设矛盾，所以，的逆矩阵是唯一的。

例5.设3维向量组，，线性无关，试证在每个向量上添加一个分量，得到的4维向量组，，也线性无关。

证明：假设向量组线性相关，则存在一组不全为零的数，

，，使得，将它写成分块形式得：，于是有，因此线性相关，这与已知条件线性无关矛盾，所以向量组线性无关。

在日常学习中，我们经常遇到很多的定理和命题的证明，而反证法可以加深我们对命题的理解。反证法在逻辑学上的合理性，决定了反证法在线性代数上的使用的合理性，在简要说明了论证的合理性的时候，将所要表达的问题进行有力的反向证明，从而对问题进行解释。这种解题方法有着极其独到的见解。

三、结语

结合线性代数教学可以很明显的体现出反例和反证法对学生理解一些比较困难的知识点是有很大帮助的。正因为反例与反证法的种种优势，在解题中的运用它们很轻松的就可以将问题进行解答。在恰当的应用反例和反证法中，学生和教职人员都可以利用其简便性对线性代数中的各种问题进行抽象性的解答，其在教学中的针对性较为广泛，对培养学生的创造性思维有一定的效果。

参考文献

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