巧做向量转化确定三角形的心

胡筱萌

【摘要】从人教版高中数学教材中可知，向量的引入就是以三角形的边角关系为铺垫的.而三角形的边角关系与三角形的心，在几何上也是有关联的.这样，向量与三角形的心可以通过一定的转化建立联系.本文以实例分析了几种三角形的心与向量的关系，在转化后明确了二者的联系.本文提供的解题方法为类似问题的挖掘与探究提供了一个可参考的思路.

【关键词】向量；三角形的心；转化

在△ABC，通过向量的变换可以确定一个点的位置.事实上，这类关系都是由向量的共线定义等基本定理衍生而来.

现在有A，B，C是平面上不共线的三点，当P分别满足下列条件时，AP（或BP、CP）过△ABC的何种“心”？

例1OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|.

解AB|AB|与AC|AC|分别是AB、AC方向上的单位向量，从而AP=λAB|AB|+AC|AC|.

∴AP必在∠BAC的角平分线上.

∴AP过△ABC内心.

例2OP=OA+λAB|AB|sinB+AC|AC|sinC.

图1

解不妨假设△ABC为如图1的钝角三角形，过A作DA⊥BC交C于D.

∴AP=λAB|AD|+AC|AD|=λ|AD|（AB+AC）.

由向量的三角形法则可知AP必经过BC的中点E，即过△ABC重心.

当△ABC为直角三角形或锐角三角形时，亦同理可证.

变式OP=13（1-λ）OA+（1-λ）OB+（1+2λOC）.

解设OA+OB=OD，

∴OP=2（1-λ）3OD+2（1+2λ）3OC.

∵2（1-λ）3+（1+2λ）3=1，

∴P，D，C共线.

∴AP过△ABC重心.

例3若OP=OA+λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC.

图2

解假设其为如图2的钝角三角形，作AD⊥BC与D.

∴AP=λAD+DBBD+AD+DCDC

=λADBD-1+ADDC|+1

=λ1|BD+1DC·AD.

∵λ1BD+1DC|为常数，∴P，D共线.

∴AP过△ABC重心.

例4PA·AB|AB|+CA|CA|=PB·BA|BA|+CB|CB|=PC·CA|CA|+BC|BC|=0.

解由PA·AB|AB|+CA|CA|=0，

图3

∴PA垂直于△ABC的外角平分线，如图3所示.

∴PA为内角平分线.

同理可得，PB、PC均为内角平分线.

∴AP過△ABC内心.

针对向量与三角形心的对应关系提出上述解法.可以看出，作图、转化与化归，可以为解向量与三角形关系提供良好的思路，这些思路也可用于解其他有关向量的题，感兴趣的读者不妨深究.