函数解析式、图像、单调性在数列中的应用

熊治周

函数教学是中学数学教学的重要内容之一，多年来，一直是高考必考重点内容。函数解析式、函数图像、函数的单调性等内容在数学教学中，特别是在数列中的应用非常广泛，对解决数列中的数量关系等问题有较好的辅助意义。

一、从函数角度理解数列定义

数列就是有规律的排列数，可看成正整数集，也可看作以正整数集为定义域的函数，是当自变量按从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值。

例如，①由全体正偶数构成的数列：2，4，6，8，……，2n，……。② 正方形数列：1，4，9，16，25，……。③围棋格子中放麦粒的数列：1，2，4，……，263。

像这样的数列还有很多，①②③分别是我们前面学的一次函数y=2x、二次函数y=x2、指数型函数y=2x-1当x按照从小到大的顺序依次取正整数时所对应的一列函数值。

这样类比有什么好处呢？我们在学习数列之前已经学习并掌握了函数的表示方法：解析法、列表法和图像法。尤其是求函数解析式，我们做了系统的总结，可以很容易地推出①②③的通项公式分别是an=2n、an=n2、an=2n-1。我们也可以用列表法、图像法表示数列，进而得出了数列的三种表示方法：解析 法、列表法和图像法。特别指出，数列的图像是均匀分布的一群孤立的点。

二、应用函数思想研究数列性质

四、函数思想在等比数列中的应用

教材中等比数列{an}的通项公式还写成an=a1×qn-1=—×qn=c×qn，其中c=—是一个不为零的常数。当q≠1时，y=qx是一个指数函数，y=cqx是一个非零常数与一个指数函数的积。因此，单看这个图像就可以看出，表示数列{cqn}的点都在函数y=cqx的图像上。

总之，教学数列内容时，把函数的思想渗透其中，恰当运用，就能够使数列问题轻松解决；这样，既巩固了函数的知识，又使数列问题得到了解决，事半功倍。

（作者单位：贵州省湄潭县求是高级中学）