数形结合思想在数学教学中的应用

王彩琴

【摘要】以数学的思想方法为依托，以提高学生学习数学的能力为目标，阐述了数形结合思想在中学数学学习中的地位和作用.数形结合思想可以说在整个基础数学学习过程中都在应用.主要介绍了数形结合思想在解决集合问题中、在解决函数问题中、在解决方程与不等式问题中、在解决三角函数问题中、在解决线性规划问题中、在解决数列问题中、在解决向量问题中、在解决解析几何问题中、在解决立体几何问题中的应用.最后强调了在应用数形结合时须注意的问题.

【关键词】数学思想；数形结合

一、应用数形结合思想解决集合问题

例1A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，且x∈A}，C={z|z=x2，且x∈A}，若CB求实数a的取值范围.

分析本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目.解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C，进而将CB用不等式这一数学语言加以转化.

解：y=2x+3在[-2，a]上是增函数.-1≤y≤2a+3，即B={y|-1≤y≤2a+3}.

作出z=x2的图像，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下图1：

图1

①-2≤a≤0时，a2≤z≤4，即C={z|a2≤z≤4}，要使CB，必须且只须2a+3≥4，得a≤12与-2≤a<0矛盾；

②0≤a≤2时，0≤z≤4，即C={z|0≤z≤4}，要使CB，由下图2可知：

图2

必须且只需2a+3≥4，0≤a≤2，解得12≤a≤2.

③a>2时，0≤z≤a2，C={z|0≤z≤a2}，即要使CB，必須且只需a2≤2a+3，a>2，解得2≤a≤3.

④a<-2时，A≠，此时C=B=，则CB成立.

综上所述，a的取值范围是（-∞，-2）∪12，3.

例2若集合x，y|x=3cosθ，y=3sinθ0<θ<π，集合N={（x，y）|y=x+b}，且N∩M≠，则b的取值范围为.

图3

分析M={（x，y）|x2+y2=9，0

二、数形结合思想在解决函数问题中的应用

函数的图像是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律.函数图像形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具.

1数形结合思想在求函数最值中应用

最值问题，一般就是求某个代数式或函数的最大值或最小值了，当然有些题目是可以借助于重要不等式等知识直接解决的，但有些题目用这些方法都比较复杂，而且计算量很大.我们可以考虑一下这些代数式的几何意义了，再结合代数式中所隐含的几何图形，应用几何知识来求其最大值或最小值.

（1）转化为直线斜率公式求最值

例1如果实数x，y满足等式x-22+y2=3，那么xy的最大值是（）.

A.2B.3C.32D.3

图4

分析等式x-22+y2=3有明显的几何意义，它表示以（2，0）为圆心，3为半径的圆（如图4）.而yx则表示圆上的点（x，y）与坐标原点（0，0）的连线的斜率.如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A在以（2，0）为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值.由图4可见，当点A在第一象限且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最大值为tan60°=3，故答案选D.

（2）转化为两点距离问题求最值

例2求函数y=x2+1+x2-4x+8的最小值.

分析考察式子特点，从代数的角度求解，学生的思维受阻，这时利用数行结合为转化手段，引导学生探索函数背后的几何背景，巧用两点间的距离公式，化x2+1+x2-4x+8=x-02+0-12+x-22+0-22，如图5.

图5

令A（0，1），B（2，2），P（x，0），则问题转化为在x轴上求一点P，使PA+PB有最小值.由于AB在x轴同侧，故取A关于x轴的对称点C（0，-1），（PA+PB）min=CB=2-02+2+12=13.

（3）转化为直线的纵截距问题求最值

例3已知x，y满足x216+y225=1，求y-3x的最大值与最小值.

分析y-3x在限定条件x216+y225=1下求最值问题，常采用构造直线的截距方法来求之.令y-3x=b，则y=3x+b，原问题转化为：在椭圆x216+y225=1求一点，使过该点的直线斜率为3，且在y轴上的截距最大或最小.

图6

由图6可知，当直线y=3x+b与椭圆x216+y225=1相切时，有最大截距与最小截距.

y=3x+b，x216+y225=1169x2+96bx+16x2-400=0.

由故Δ=0，得b=±13，y-3x的最大值为13，最小值为-13.

（4）利用解析式的特点求最值

例4对a，b∈R，maxa，b=a，a≥b，b，a

图7

分析本题主要考查函数的解析式、函数的最值，以及分类讨论思想和数形结合思想，即max{f（x），g（x）}=12{f（x）+g（x）+|f（x）-g（x）|}，然后用零点划分法讨论可得答案，但此方法比较繁琐.考虑数形结合的思想方法，如图7，容易知道函数的图像为实线部分，在点A处取到最小值是32.

解由|x+1|2≥|x-2|2（x+1）2≥（x-2）2x≥12，故f（x）=|x+1|，（x≥0.5），|x-2|，（x<0.5）.

2数形结合思想在考查函数性质中作用

例1若定义在区间（-1，0）内的函数f（x）=log2a（x+1），满足f（x）>0，则a的取值范围是（）.

A.0，12B.0，12C.12，+∞D.（0，+∞）

分析由在（-1，0）内f（x）>0可知，函数f（x）=log2a（x+1）在（-1，0）内的图像位于x轴上方，且x→0时，f（x）→0（如图8所示）.

所以底数2a应满足0<2a<12，选A.

评注解题时应善于将f（x）>0加以转化，由式想形，本题还可进一步考查函数在（-1，0）内的单调性.

分析题目要求指出函数y=-xcox的部分图像，从分析函数的性质入手.易函数y=-xcox是奇函数，而奇函数的图像关于原点对称，于是排除A，C项.

当x=1<π2时，y=-1cos1=-cos1<0，点（1，-cos1）在第四象限，排除B.故正确选项应为D.

例3方程2x+x=3，log2x+x=3的实根分别为x1，x2，则x1+x2=.

分析本题x1，x2不好求解，联想原函数与反函数的图像性质进行数形结合，以数助形可巧妙求解.

令y1=2x，y2=log2x，y3=3-x，由y1，y2互为反函数，其图像关于y=x对称，设A（x1，3-x1），B（x2，3-x2），则x1=3-x2，即x1+x2=3.