用除法运算确定诱导公式中的角

吴维峰

【摘要】本文根据诱导公式的内在联系，在分析了诱导公式教学的重点和难点后，利用除法运算，给出角α的确定方法，提高了诱导公式的教学质量.

【关键词】：诱导公式；教学；确定方法

三角函数的诱导公式，在三角函数式的变形与三角函数值（特别是任意角的函数值）的计算中都起着化繁为简、化难为易的作用，很好的体现了化归的数学思想和方法.同时，公式多、记忆难，学生在使用时容易出错，历来是三角函数教学的重点和难点.尤其是公式中角α的确定，多数教材中都没有给出一个统一的确定方法，直接影响了公式的使用.下面就从公式的内在联系入手，利用除法运算，给出角α的确定方法.

一、立足應用，突出重点，把握难点

1.依据公式间的内在联系，突出重点

诱导公式虽然类型多、数量大，但只要掌握了角2kπ+α（k∈Z）、角-α、角π+α、角π2+α与角α的三角函数关系（共4组公式，具体公式在此略），其余公式可由它们推出，因此，这4组公式是教学的重点和难点.

2.立足公式应用，把握难点

从4组公式的作用看，角-α的诱导公式只起到“化负角为正角”的作用，因此公式应用的重点应当是其余3组公式.其余3组公式中，角π+α或π2+α公式中对应的角较小（小于360°或2π），相对简单；而角2kπ+α（k∈Z）的诱导公式对应的角往往大于360°或2π，并且需要将已知三角函数中的角分解为2kπ+α（k∈Z）的形式，也就是涉及角α的确定，所以角2kπ+α（k∈Z）的诱导公式既是重点，也是难点.

二、利用除法运算，给出角α的确定方法

下面就以2kπ+α（k∈Z）的诱导公式为主，结合实例，利用除法运算，给出角α的确定方法（为突出角α的确定方法，实例中的三角函数对应的角都大于360°或2π）.

例利用诱导公式求下列三角函数值.

（1）tan1560°；（2）sin（-810°）；（3）cos7π；（4）sin11π4；（5）cos10π3.

1.当给定的角采用度（度数大于360°）表示时

（1）解：用1560°除以360°，即做竖式除法：，余数120°就是角α，用横式表示就是：1560°=4×360°+120°，即角α=120°，得tan1560°=tan（4×360°+120°）=tan120°=tan（90°+30°），tan（180°-60°）=-cot30°=-3，-tan60°=-3.

在计算tan120°时，可以通过不同的变形方法，训练学生一题多解的能力.

（2）解：首先使用角-α的诱导公式，化负角为正角，得sin（-810°）=-sin810°；对810°使用竖式除法：，余数90°就是角α，用横式表示就是：810°=2×360°+90°，即角α=90°，得sin（-810°）=-sin810°=-sin（2×360°+90°）=-sin90°=-1.

方法归纳：当给定的角用度表示且度数大于360°时，可以用除法来确定角α：用给定的角除以360°，余数就是角α.

2.当给定的角采用弧度（弧度数大于2π）表示时

（3）解：利用弧度和度的关系，需把上述除法中的360°换成2π，即做除法：，余数π就是角α，即7π=3×2π+π.故cos7π=cos（3×2π+π）=cosπ=-1.

（4）解：要计算sin11π4的值，类比（3）题，学生能想到做除法.但由于涉及分数相除，比较困难.可改为：用分母4与2π的乘积做除数，即做除法：，得11π=8π+3π，从而11π4=8π+3π4=2π+3π4.故sin11π4=sin2π+3π4=sin3π4=sinπ-π4=-sin-π4=sinπ4=22.

（5）解：仿（4）做除法，得10π=6π+π，10π3=6π+4π3=2π+4π3，从而cos10π3=cos2π+4π3=cos4π3=cosπ+π3=-cosπ3=-12.

归纳：当给定的角用弧度表示且弧度数大于2π时，可以做除法来确定角α：用给定的角除2π，余数就是角α.特别的，当给定的角用弧度表示且弧度数是分数时，可把除数改为2π与分母的积.

我们的体会是：既要注重理论知识的传授，又要注重思想与方法的培养，在把握教学重点和难点的基础上，提高应用知识的能力为主线，将教学内容和学生实际、教学方法有机结合在一起，切实提高数学课堂的教学质量.

【参考文献】

[1]山东省职业教育教材编写组.数学（第二册）[M].北京：人民教育出版社，2009：24-26.

[2]山东省职业教育教材编写组.教师教学用书数学（第二册）[M].北京：人民教育出版社，2009：11-12.

[3]覃志根.三角函数诱导公式的教学探索[J].中学教学参考，2010，61（9）：72-73.

[4]黄兴勇.以诱导公式的教学谈知识传授与能力培养的结合[J].广西广播电视大学学报，2003，14：99-100.