概述巧定主元在解题中的应用的研究

李宁宁

【摘要】多变元问题是中学数学中思维难度较大，解题过程较繁的一类问题.学生在解答过程中经常陷于盘根错节的参数关系而无法理清头绪，这时若能灵巧地确定主元，进行有效地转化，化繁为简，继而达到柳暗花明的境界.

【关键词】多变元；解题；应用；主元；研究

研究者对于巧定主元的研究主要是从四个方面展开.第一个方面：确定一个参数为主元；第二个方面：确定两个及以上元素（即整体）为主元；第三个方面：大胆增元或减元，为确定主元铺设条件；第四个方面：确定非参数元素为主元.以下首先对这四个方面一一举例介绍，其次谈一下今后在这个领域中的所应着重注意的三个方向.

1.确定一个参数为主元（在确定一个参数为主元的同时又分为两个方面）

（1）确定一个参数为主元在解方程（组）中的应用

例1设K≥9.解方程x3+2kx2+k2x+9k+27=0.（2006年，上海交通大学自主招生考试）

分析因为该方程为三次方程很难因式分解，所以，这条路很难.但变换主元，将x看作参数，k视为主元，则可看成一个关于k的二次方程

xk2+（2x2+9）k+（x3+27）=0.

xk2+（2x2+9）k+（x+3）（x2–3x+9）=0.

（xk+x2–3x+9）（k+x+3）=0.

x2+（k-3）x+9=0或k=-x-3.

x=（3-k）±（k-9）（k+3）2（k≥9）或x=k+3.

（2）确定一个参数为主元在求根（不等式）的取值范围中的应用

例2若不等式2x–1>m（x2-1）对满足∣m∣≤2的所有m都成立，求x的取值范围.

分析本题若视x为变量，m为常量，进行分类讨论，显然不可取，但若巧变参数，转化为关于m的不等式，再用函数思想，问题也就迎刃而解了.

解析令f（m）=m（x2-1）-（2x-1）.

当x≠±1时，它是关于m的一次函数，故由∣m∣≤2时，f（m）<0恒成立，等价于f（-2）<0和f（2）<0，所以解得-1+72

综上知x的取值范围是（-1+72，1+32）.

2.确定两个及以上元素（即整体）为主元

例3（2011年苏州高三第一学期期末第13题）已知△ABC的三边长a，b，c满足b+2a≤3a，c+2a≤3b，求ba的取值范围.

分析本题中出现三个变量，而且在三角形中，处理方法是把a，b作为主元，通过三角形的三边关系消去c.

解因为b+2a≤3a，所以2a≤3a-b.

由于a，b，c为三角形的三边.

则2（a-b）<2c≤3a-b.（1）

2（b-a）<2c≤3a-b.（2）

由（1）（2），得0

对于c+2a≤3b，同理可得ba>34，34

3.大胆增元或减元，为确定主元铺设条件

例4设抛物线：y=-x2+2x与X轴的一个交点为B（不是原点），P，Q为抛物线上两个不同的动点，当点P在抛物线上运动时，如果使BP⊥PQ，求点Q的存在范围.

解设P（a，-a2+2a），Q（b，-b2+2b），其中a≠2，a≠b，又B（2，0），由BP⊥PQ，kBP·kPQ=-1，由此得a2（b-2）a+1=0.

由Δ≥0，得b≤0或b≥4.

故点Q的存在范围是抛物线y=-x2+2x上x∈（-∞，0）∪[4，+∞）.

4.确实以非参数元素为主元

例5（2007年广东卷）已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x-3-a.如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围.

解以零点为主元进行分类：

Ⅰ.只有一个零点时，分类讨论如下：

（1）若a=0，f（x）=2x-3，显然在区间[-1，1]上没有零点，所以a≠0；

（2）a≠0，当f（-1）f（1）≤0时，1≤a≤5有零点.

Ⅱ.当有两个零点时，a≠0，当f（-1）f（1）>0时，进行分类讨论如下：

（1）当f（-1）>0，f（1）>0时，a>5有零点；

（2）当f（-1）<0，f（1）<0时，a<1，进行分类讨论如下：

①当0

②当a<0时，当函数值最大值大于0，函数的对称轴在区间[-1，1]上有零点，此时a≤-3-72.综上可得，a的取值范围是a>1或a≤-3-72.

5.下一步的研究工作

第一，将巧定主元的方法综合运用.虽然巧定主元的方法繁多，但研究者对它们都是单一的研究，并未能将它们很好地融合在一起.

第二，应关注学生的思维.纵然巧定主元的方法众多，倘若学生的思维完全跟不上，岂不是白费功夫，因此要将学生的思维与巧定主元的方法有效地结合在一起.

第三，应与一线教师进行密切地交流与合作.即使巧定主元的方法较多，但一线教师不能即使或者忽视这种思想，学生將很难接触、学习并运用这种思想.可以推断出，倘若研究者与一线教师进行密切地交流和合作定会极大地促进巧定主元思想及方法的发展.