探一类弦长计算结构，促进解题技能升级

朱芷漪 徐琳 张治中

用代数坐标对几何性质的研究，经常被繁琐的计算所困扰.圆锥曲线的弦长相关的结构和结论之间有着内在的同构特征，在认知和操作上具有正迁移功能.因此，按弦所在的直线位置划分，把步骤、结构与数量用字母定型.在认知和技能层面上给予强化，有利于计算能力形成.

一、一类弦长的一般结构与结论

（一）把过焦点的直线截圆锥曲线得的弦长称为一类弦长

例1设过右焦点F2的直线，与椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）交于A（x1，y

二、一类弦长技能训练的主要环节及主要内含

过心理关，代入时，要以完全平方式在心理以表象形式展开及合并，同时，依次默念并写出一元二次方程；对三项的式子及符号，根据弦所在的直线的位置较样；要亲历完成通分、消项、瘦身（提出a2b2公因子）、按定义组合、开方五个环节的运算，对各步结构、形态形成稳定的表象后，反复数量对比、品味，就会发现好风景.

知行互动，通过练习，版面只出现①②③结构形式.理解k，p（a，b），|AB|要素的数量对应关系，丰富思维自由度.当p（a，b）转化成为常数时，一类弦长可以理解为|AB|=f（k）的函数形式，是二次函数比二次函数类型.可以用裂项、求导及解不等式等方法，讨论单调性、极值等基本数学问题.理解是记忆的基础，方法是技能的阶梯.

三、用问题推动认知与技能升级

例5（2010新课标全国数学卷文科20题），设F1，F2分别是椭圆E：x2+y2b2=1（0

例72014山东数学高考题21题，已抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过A的直线l交于C另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有FA=FD.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形.（1）求C的方程.（2）若直线l′∥l，且l′和C有且只有一个公共点E.（ⅰ）证明直线AE过定点，并求定点坐标.（ⅱ）

△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在.请说明理由.

②式的迅速产生，得益于抛物线一类长的中间结构的支架.在数学学习中，仅有理论上的原则性的思想方法是不够的，用一类弦长解题简单，是因为结构和结论是以技能形态存在的.技能是數学解题实践平台，也是能力形成的必由之路.