关于极限算法的探讨

何天荣 吴湘云

【摘要】数学分析是数学专业最重要的专业基础课，是概率论与数理统计、常微分方程、微分几何、计算方法、实变函数、复变函数等后继课程的必备基础.课程的特点是内容极为丰富、具有严密的逻辑性和理论的高度抽象性.极限论是数学分析课程的理论基础极限的计算是极限论中极其重要的环节，本文是据笔者多年教学数学分析课程的经验对极限算法的探讨.

【关键词】数学分析；极限论；算法

一、极限论在数学分析课程中的作用

极限论是数学分析的理论基础，极限思想贯穿本门课程的始终，连续、导数、定积分、反常积分、曲线积分、重积分、曲面积分等定义都是以极限作为理论基础引入的，相应的性质也完全可以用极限思想进行解释.极限的计算是非常重要和關键的一环，比如说讨论函数的连续性，依定义，函数在某点处的极限值等于该点处的函数值，那首先得会计算它在该点处的极限值，又如反常积分收敛性的讨论、级数收敛性的讨论都归结为极限的计算，因此能熟练计算一些常见的函数极限是学好数学分析课程的一个必要条件.

二、数学分析课程中所接触到的极限算法

2.“00”型极限的算法

所谓“00”型就是函数分子分母同时趋近于0的情况，在初等数学中我们就熟知，此时直接代入是没有的意义的，而我们需要做的事情是想方设法将无意义变有意义，方法如下：

（1）消去零因子

所谓消去零因子，就是通过一定的恒等变形，将分子分母中为零的因式约掉从而可以直接代入求出极限值，具体可以通过分子有理化、分母有理化或因式分解等来实现.例如：

limx→41+2x-3x2-3x+4=limx→42（x-4）（x-4）（x+1）（1+2x+3）=limx→42（x+1）（1+2x+3）=115.

此题采用了分子有理化同时分母因式分解的策略消去了零因子，有的题可能只需要对分子或分母进行有理化或因式分解即可，而有的题可能需要分子分母同时有理化或分解，总之，消零因子是本质要求.

（2）利用重要极限“limx→0sinxx=1”，该公式也是属于“00”型，关于这种类型，教材[1]第58页有详细讨论，不再赘述.

（3）罗比达法则的第一种情况也是“00”型，见教材[1]第130页有详细讨论.

（4）无穷小量等价代换

这种方法非常方便实用，只是方便之前提是牢记相互代换的无穷小量，例如

limx→01-cosxx2=limx→0x22x2=12，因为在x趋近于0时1-cosx与x22等价，可以用后者代换，起到极大的简化作用，消去了零因子.

2.“∞∞”型极限的算法

（1）公式法limx→∞anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0bmxm+bm-1xm-1+…+b1x+b0=∞n>manbmn=m0n

推导见教材[1]第33页例4.

（2）罗比达法则，见教材[1]第132页.

3.无穷小量×有界变量=无穷小量

limx→+∞（sinx+1-sinx）=limx→+∞2cosx+1+x2sinx+1-x2=0因为2cosx+1+x2≤1；limx→+∞sinx+1-x2=limx→+∞12（x+1+x）=0

4.利用定积分求极限

limn→∞1n+1+1n+2+…+12n=limn→∞∑ni=111+in·1n=∫1011+xdx=ln2

5.利用迫敛性求极限，见教材[1]第31、32页及第35页习题4（4）、（5）、（6）.

6.利用重要极限“limx→0（1+x）1x=e”.详见教材[1]第58页.

7.利用初等函数的连续性求极限.

此法的原理是利用初等函数在其定义域内皆为连续函数，则极限值与函数值相等，故直接代入即可.

三、结语

极限的计算是数学分析课程的重要知识点，熟练掌握极限的计算对本课程的学习有至关重要的作用，而要掌握好极限的计算，首先必须多练，在练习中不断反思，总结规律；其次，一定要善于总结不同类型极限的不同算法，因为数学分析课程中对极限的算法讨论是贯穿于教材上册始终的，所以学完之后进行总结归纳对学好极限是极有帮助的.

【参考文献】

[1]华东师大数学系编.《数学分析》（第四版）[M].北京：高等教育出版社2010.