巧用塞瓦定理证明三线共点问题

陈聪

【摘要】众所周知，三线共点问题在初等几何证明中占有特殊重要的地位.解决三线共点问题的一般方法是找出一个适当的三角形，使其中的三条线是已知的塞瓦线.例如，三角形的中线或垂直平分线等.然而，相当一些涉及三线共点的更普遍问题，其中大部分最终仍要归结到塞瓦定理.

【关键词】塞瓦定理；三线共点；证明

定理（塞瓦定理）给定一个ΔABC和分别位于线段BC，CA，AB上的三个点A′，B′，C′.线段AA′，BB′，CC′共点的充分必要条件是C′AC′B·A′BA′C·B′CB′A=1.

找一个满足上面比值恒等式的适当三角形并非容易的事情.如何解决这个问题并正确应用塞瓦定理？在此，笔者总结出证明三线共点问题基本方法的两个重要步骤.为便于归纳总结，我们以如下具体问题为背景来进行说明.

问题给定△ABC，构造矩形ACDE，AFGB和BHIC使它们都在△ABC的外侧.证明线段EF，GH和ID的垂直平分线共点.

这是联系三角形边的矩形相关问题的一种特殊情况.要想应用塞瓦定理证明此问题，困难在于所给的已知条件过于简单.不像其他类似问题通常都有附加限制，如用正方形代替矩形或给定的三角形是一特殊三角形.此外，问题中三条垂直平分线交点的位置与三个矩形的高度有关，况且它不会让我们立即想到与△ABC的联系.

解决此问题的关键就是要牢牢把握已经给定的数量关系，即ΔABC的三个角度和三边的长度.我们分别用x，y和z表示三个矩形的高度.

步骤1构造一个三角形，并要求所给定的线是塞瓦线.

（1）作线段FA，EA和CI的垂直平分线，并组成一个△O1O2O3.其中O1，O2，O3分别是△EAF、△GHB和△CDI的外心.再作EF、GH和ID的垂直平分线h1，h2，h3（图1）.显然，h1过点O1，h2过点O2，h3过点O3.于是，△ABC：△O1O2O3且线段h1，h2，h3是△O1O2O3的塞瓦線.

（2）在△ABC中，作平行线AA′∥h1、BB′∥h2和CC′∥h3.这样就获得了△ABC的塞瓦线.为此，我们只需证明线段AA′、BB′和CC′共点即可.

步骤2应用塞瓦定理.为确保目的明确，我们在表示塞瓦定理中的比值时，只使用△ABC的边和角以及矩形的高x，y，z.

在△ABA′和△ACA′中，分别使用正弦定理，可得

A′BAA′=sin∠A1sin∠B，A′CAA′=sin∠A2sin∠C.

两式相除，有

A′BA′C=sin∠A1sin∠A2·sin∠Csin∠B.

注意到∠A1≡∠（O1O2，h1）≡∠F1；∠A2≡∠（O1O3，h1）≡∠E2.于是，在△EFA中再使用正弦定理，可得

sin∠A1sin∠A2=sin∠F1sin∠E2=xy.

因此A′BA′C=xy·sin∠Csin∠B.

同样，我们可直接写出塞瓦定理中的另外两个比值分别为

B′CB′A=yz·sin∠Asin∠C；C′AC′B=zx·sin∠Bsin∠A.

综上可得

A′BA′C·B′CB′A·C′AC′B=xy·yz·zx·sin∠Csin∠B·sin∠Asin∠C·sin∠Bsin∠A=1.

这就证明了AA′，BB′，CC′共点.因此，h1，h2，h3也共点.

最后，需提请读者注意：我们一旦确定了三角形中塞瓦线的位置，应尝试只用初始条件来表达塞瓦定理中的每个比值.换句话说，大家应该严格使用给定的假设来写出三个比值，并且避免直接由它们来推断结论.