陈聪
【摘要】众所周知,三线共点问题在初等几何证明中占有特殊重要的地位.解决三线共点问题的一般方法是找出一个适当的三角形,使其中的三条线是已知的塞瓦线.例如,三角形的中线或垂直平分线等.然而,相当一些涉及三线共点的更普遍问题,其中大部分最终仍要归结到塞瓦定理.
【关键词】塞瓦定理;三线共点;证明
定理(塞瓦定理)给定一个ΔABC和分别位于线段BC,CA,AB上的三个点A′,B′,C′.线段AA′,BB′,CC′共点的充分必要条件是C′AC′B·A′BA′C·B′CB′A=1.
找一个满足上面比值恒等式的适当三角形并非容易的事情.如何解决这个问题并正确应用塞瓦定理?在此,笔者总结出证明三线共点问题基本方法的两个重要步骤.为便于归纳总结,我们以如下具体问题为背景来进行说明.
问题给定△ABC,构造矩形ACDE,AFGB和BHIC使它们都在△ABC的外侧.证明线段EF,GH和ID的垂直平分线共点.
这是联系三角形边的矩形相关问题的一种特殊情况.要想应用塞瓦定理证明此问题,困难在于所给的已知条件过于简单.不像其他类似问题通常都有附加限制,如用正方形代替矩形或给定的三角形是一特殊三角形.此外,问题中三条垂直平分线交点的位置与三个矩形的高度有关,况且它不会让我们立即想到与△ABC的联系.
解决此问题的关键就是要牢牢把握已经给定的数量关系,即ΔABC的三个角度和三边的长度.我们分别用x,y和z表示三个矩形的高度.
步骤1构造一个三角形,并要求所给定的线是塞瓦线.
(1)作线段FA,EA和CI的垂直平分线,并组成一个△O1O2O3.其中O1,O2,O3分别是△EAF、△GHB和△CDI的外心.再作EF、GH和ID的垂直平分线h1,h2,h3(图1).显然,h1过点O1,h2过点O2,h3过点O3.于是,△ABC:△O1O2O3且线段h1,h2,h3是△O1O2O3的塞瓦線.
(2)在△ABC中,作平行线AA′∥h1、BB′∥h2和CC′∥h3.这样就获得了△ABC的塞瓦线.为此,我们只需证明线段AA′、BB′和CC′共点即可.
步骤2应用塞瓦定理.为确保目的明确,我们在表示塞瓦定理中的比值时,只使用△ABC的边和角以及矩形的高x,y,z.
在△ABA′和△ACA′中,分别使用正弦定理,可得
A′BAA′=sin∠A1sin∠B,A′CAA′=sin∠A2sin∠C.
两式相除,有
A′BA′C=sin∠A1sin∠A2·sin∠Csin∠B.
注意到∠A1≡∠(O1O2,h1)≡∠F1;∠A2≡∠(O1O3,h1)≡∠E2.于是,在△EFA中再使用正弦定理,可得
sin∠A1sin∠A2=sin∠F1sin∠E2=xy.
因此A′BA′C=xy·sin∠Csin∠B.
同样,我们可直接写出塞瓦定理中的另外两个比值分别为
B′CB′A=yz·sin∠Asin∠C;C′AC′B=zx·sin∠Bsin∠A.
综上可得
A′BA′C·B′CB′A·C′AC′B=xy·yz·zx·sin∠Csin∠B·sin∠Asin∠C·sin∠Bsin∠A=1.
这就证明了AA′,BB′,CC′共点.因此,h1,h2,h3也共点.
最后,需提请读者注意:我们一旦确定了三角形中塞瓦线的位置,应尝试只用初始条件来表达塞瓦定理中的每个比值.换句话说,大家应该严格使用给定的假设来写出三个比值,并且避免直接由它们来推断结论.