解题，从审题开始

王彤

进入高一，绝大部分学生在数学学习上面临着一系列巨大挑战：学习容量明显加大了，知识的系统性更强了，加上内容的抽象性、思维的严密性与逻辑性明显加强，很多学生在数学学习上会感到很吃力，主要表现在数学解题上：上课听讲时都能理解，但到自己去解题时，各种问题却接踵而来.其主要原因在于自己没有形成一定的解题思路，还没弄清楚题目需要你做什么，或者根据题目条件你能做什么.要想弄清楚该干什么，就要从审题开始.新课标明确指出：高中数学课程对于提高分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新思维起着基础性作用.分析和解决问题的能力是指能阅读、理解对问题进行陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题.

例1若不等式x2-ax-b<0的解集为x20的解集.

此题看起来比较简单，绝大部分学生也都能算出正确答案，但从解题过程的严密性而言，我觉得是不大满意的.在讲一元二次不等式的解法时，我们通常是把三个二次放在一起，目的是让学生明确二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的关系，也就是在处理一元二次不等式的问题时，脑中能形成这样三角网络，把不等式的问题转化为方程问题.所以，我们强调在解题时要有这么一句话：因为不等式x2-ax-b<0的解集为x20的解集是{x|x<1或x>3}，求不等式cx2+bx+a>0的解集，我们会发现除了类似于例1的两个方程以外，还能发现“a<0”这个结论.这个结论在后面的解题中起到了决定性作用，如果我们审题不严密，没有细细分析题目条件所带来的信息，那我们往往就会走在错误的边缘而不知.

数学学科本身具有精确性、严密性及完美性三大特点，而思维的严谨性是极其重要的一方面.反映在数学解题过程中，就是要做到思考问题全面、周密而不遗漏任何可能的情况，在推理论证时做到理由充分，条理清楚.

例2已知函数f（x）=-2x2+4x-1，若0

此题是研究二次函数在不定区间上的值域问题，通过审题，我们不难发现，结合二次函数图像，由于区间的不定，我们无法确定最大和最小值的位置，无法确定就带来了分类讨论.分类讨论是数学严密性的一种明显表现，很多学生缺乏严密的逻辑推理，会丢三落四，但要想得高分，就要面面俱到.不过，知道分类讨论只是完成了解题的第一步，后面还有一块重要而艰巨的任务：解题.因为当0

有时候，数学解题不是纯粹为了解这道题而解题，我们要从一道题的思考、解答中去发现这一类问题的解决通法.我也经常和学生讲：要少算就要多想.这两年高考也是呈现了这样的特点，计算的量少了，要求学生思考的东西多了.审题，一方面是多思考题目条件可以带来哪些结论，另一方面我们还要多关注题目条件中所隐含的一些信息，抓住这些信息，我们往往会有一种“柳暗花明又一村”的感觉.

例3几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20000元.假设该产品的月销售量t（x）（件）与销售价格x（元/件）（x∈N*）之间满足如下关系：①当34≤x≤60时，t（x）=-a（x+5）2+10050；②当60≤x≤70时，t（x）=-100x+7600.设该店月利润为M（元），月利润=月销售总额-月总成本.

（1）求M关于销售价格x的函数关系式；

（2）求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格.

看起来是一道比较简单的利润应用题，学生们都能建模，但因为第一问式子的求解直接影响第二问的求解，很多同学第一问都没能做出来，所以此题的平均得分很低.问题在哪儿？条件中有一个字母a，按以前做题的常理，我们通常要把a求出来的，但我们也发现好像无从求a，于是就会带着a一直往下做，明知道有问题，但也无力改变.那么问题究竟在哪儿呢？如果仔细观察，我们会发现34≤x≤60和60≤x≤70这两个式子，这和我们平常写的有什么区别吗？就是60的位置，两段上都带了等号.这说明什么问题？于是隐含条件又被挖出：第一段的t（60）和第二段的t（60）应该相等，这样a就算出来了，所有问题也就迎刃而解.

基本的审题没有问题时，我们是否关注了隐含条件？如例3，有同学在平常的书写分段函数时就不注意分断点的等号问题，所以遇到这个问题时自然就不会注意；有同学尽管知道，但仅仅流于表面形式，并没有真正理解，所以也不会太在意.只有真正理解了式子的概念意义，如本题，其实是对函数概念的认识.所以，对于严密性而言，它是数学的显著特征，在数学概念的学习时特别重要，概念题往往是考那些学生容易忽视的词语，恰好那是关键，要知道数学概念的严密性是很强的，多一个字和少一个字都会对概念描述不准.比如椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1，F2之间的距离）的点的轨迹叫椭圆.如果去掉平面内这个限制，将得到几何体，对常数也必须限制它大于F1，F2本身的距离，否则也不是椭圆，把和改为差又会得到双曲线的一支.

例4已知函数f（x）=alnx，若对任意的x∈1，e，都有f（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围.

这是我们在高三复习时经常遇到的一类题：不等式恒成立问题，基本方法就是构造函数求最值，分类变量求最值或者是数形结合.采用直接构造函数，即令g（x）=x2-（a+2）x+alnx，再求g（x）在1，e上的最小值.通过求导，由g′（x）=0x=1或x=a2，发现需要对a2分三种情况讨论.采用分离变量法，我们可以先得到a（x-lnx）≤x2-2x，但在两边除x-lnx时要说明x-lnx>0，在得到a≤x2-2xx-lnx后，我们令h（x）=x2-2xx-lnx，求导h′（x）=（2x-2）（x-lnx）-（x2-2x）1-1x（x-lnx）2，此时我们发现求导后的式子也不简单，虽然可以通过提取公因式或者直接研究分子（二次求导）去研究正负，但过程确实很繁琐.所以此题看起来很常规，但综合能力要求却比较高，不管采用哪种方法，都需要学生有很强的毅力坚持计算下去.不过我们再去发现一下，恒成立问题通常是“对任意的x，……恒成立”，结合我们在解决如“已知f（x）=2x+a2x+1为奇函数，求常数a”的题目时的做法，我们不难发现带特殊值是一个好办法.所以，当我们把1带入后就有了a≤-1的结论，从而在第一种做法的基础上，我们整个过程就简化了，三种情况讨论就只剩下了一种，大有“四两拨千斤”的快感.

诸如此类题不少见，如在向量中我们有这么一道：两个半径分别为r1，r2的圆M、N，其公共弦AB长为3，如图所示，则AM·AB+AN·AB=.

此题主要运用AB⊥MN的性质实现向量的运算：

可以直接用向量数量积的定义式进行化简，也可以把AM，AN进行转化求解，当然在有垂直条件下，建立直角坐标系用坐标求解也是可行的.不过，我们再去细细体会一下题目信息：半径是r1，r2（带字母），而结果应该是定值，那么换句话说这个结果应该和半径没关系，既然没关系，那我们就可以给定r1，r2的值，那样运算起来就没那么麻烦了（当然，要适当注意合理性，毕竟公共弦长是3）.

审题能力是综合获取信息、处理信息的一种能力，它需要以一定的知识储备、认知水平为依托，更需要有良好的读题习惯、有效的思考方法为保证.在高中阶段，对学生进行严密的逻辑思维训练是必不可少的，因为它不仅是创造性数学思维中不可缺少的工具，也是学生今后走入社会从事研究或工作必须具备的良好品质.