列方程解决实际问题的三把钥匙

周艳敏

列方程就是将众多实际问题“数学化”的一个重要模型. 这是解决数学应用题的法宝，但学生在列方程解应用题方面的能力很差，整体提高学生列方程解应用题的水平，是非常有意义的. 学生在初学列方程解题时，其主要困难在于读不懂题，找不到等量关系. 追本溯源，我觉得是学生对基本知识理解不深刻. 第一步是单位，先说明一下在小学阶段学生接触的单位.

长度单位：厘米（cm）、分米（dm）、米（m）、千米（km）.

面积单位：平方厘米（cm2）、平方分米（dm2）、平方米（m2）.

体积单位：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）.

重量单位：克（g）、千克（kg）、吨（t）.

时间单位：秒（s）、分钟（min）、小时（h）.

货币单位：元、角、分等.

我们把以上几种单位称为基本单位，把由两个单位或两个以上的单位构成的单位称为组合单位. 像速度单位：米/秒（m/s），它是由长度单位（米）和时间单位（秒）组合构成的. 它的意义是物体在单位时间（1s）内行驶的路程. 当然组合单位还有很多，下面会举例说到. 路程=速度×时间 这一基本公式是初中生接触较早的公式，它经过变形还会得到速度 = ■和时间 = ■，我们会发现，在这里路程的单位是米（m），时间的单位是秒（s），所以速度的单位是米/秒（m/s）. 原来单位在运算中也是可以乘除的啊！通过单位可以判断出速度的单位是米/秒（m/s）或千米/时（km/h）. 速度就是物体在单位时间内行驶的路程. 单位时间可以是1 s，1 min或1 h. 学生如理解了速度的内涵，那么

路程 = 速度 × 时间

速度 = 路程/时间

时间 = 路程/速度

这三个公式自然就熟记于心了. 我把任何一道实际问题需要的公式称为第一把钥匙.

一.路程问题

基本公式：路程=速度×时间

而路程问题中常见有两种.

相遇问题：等量关系是两者的路程和等于开始相距的路程.

追及问题：等量关系是两者的路程差等于开始相距的路程.

例1 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70 km/h，卡车的速度是60 km/h，客车比卡车早1 h经过B地. A，B两地间的路程是多少？

显然此题属于路程问题，基本公式是：路程=速度×时间，接着我们找等量关系，等量关系就是题中的某句话，这句话能够翻译成数学符号语言，也是列方程的关键所在，寻找等量关系的方法就是找到这样一句话，能写出加减乘除中一种运算的语句. 显然客车比卡车早1 h经过B地就是此题的等量关系.

卡车从A到B所用时间-客车从A到B所用时间=1 h（*）.

此时我们发现此题用到的基本公式是：时间 = .

我们已经找到了两把钥匙（基本公式和等量关系），接下来就是把两把钥匙组合在一起构成解决问题的第三把钥匙. 把基本公式代入到（*）式，它变成了

二、工程问题

基本公式是：工作时间×工作效率=工作总量

时间 × 人数 × 人均效率 = 工作量

第一个公式经常指的是一项工程，一块地，一件工作，一池水等. 解题时通常把工作量看作单位1.

例2 一项工程，甲队独做需要做12天才能完成，乙队独做需要4天完成. 如果甲队先做了若干天后，由乙队单独接着做余下的工程，直至全部完工，这样前后一共用去了6天. 求甲队先做了几天？

工作总量看成1，甲乙的工作效率分别是和. 此题的等量关系是甲队先做了若干天后，由乙队单独接着做余下的工程，直至全部完工，这样前后一共用去了6天.

所以甲的工作效率 × 若干天 + 乙的工作效率 × （6 - 若干天） = 1

设甲先做了x天，那么乙做了（6 - x）天.

需要说明此类问题中工作效率就是工作时间的倒数，这个单位时间可以是分钟、小时、天等. 假如一个人（工程队）完成某项工作需要a小时（天），那么他或它的工作效率就是.

综上所述，列方程解应用题是在用算术方法解应用题的基础上进行教学的，我们要从题目本身挖掘出大量的条件，它以四则运算的基本应用和常见的数量关系为依据，综合运用了用字母表示数、解方程等知识，有特殊的解题思路和方法，有完整的解题步骤和程序. 我所说的根据单位判断题目中运用的基本公式只是其中的一种方法. 而等量关系的寻找也应该从题目本身出发，使学生体会到，想解决哪道题，那道题目本身就是突破口. 所以解决实际问题的三把钥匙如下：

（1）基本公式（关系式）.

（2）找到等量关系，根据等量关系调整（变形）公式.

（3）把公式代入到题中的等量关系中.

列方程解决实际问题是初中数学中的难点也是重点，需要学生诸多方面的素质和能力. 我们在教学中应不断探索，不断努力. 培养学生分析问题和解决问题的能力，使他们感受到数学是有用的，为培养学生的良好思维品质和道德品质作出应有的努力.